Non-oscillating Paley–Wiener functions

Abstract

A non-oscillating Paley–Wiener function is a real entire function f of exponential type belonging to $\text{L}{}_2\text{(}\text{R}\text{)}$ and such that each derivative f⁽ⁿ⁾, $\text{n=0,1,2,…}$, has only a finite number of real zeros. We show that the class of such functions is non-empty and contains functions of arbitrarily fast decay on $\text{R}$ allowed by the convergence of the logarithmic integral. We also give a close to the best possible asymptotic (as n→∞) estimate of the size of the smallest interval containing all real zeros of n-th derivative of a function f of the class.

Une fonction entière réelle du type exponentiel appartenant à $\text{L}{}^2\text{(}\text{R}\text{)}$ est une fonction non oscillante de Paley–Wiener si chacune de ses dérivées f⁽ⁿ⁾, $\text{n=0,1,2,…}$, possède un nombre fini de zéros. Nous montrons que la classe de ces fonctions n'est pas vide. De plus, elle contient des fonctions qui décroissent arbitrairement vite, à condition que la vitesse de décroissance n'interdise pas la convergence de l'intégrale logarithmique. Nous établissons aussi une estimation de la longueur de l'intervalle minimal contenant tous les zéros réels de la n-ième dérivée d'une fonction de cette classe. D'un certain point de vue, cette estimation est optimale.