Hyperharmonic integers exist

Abstract

We show that there exist infinitely many hyperharmonic integers, and this refutes a conjecture of Mező. In particular, for r = 64 ·(2α−1)+32, the hyperharmonic number h ) 33 is integer for 153 different values of α (mod 748 440), where the smallest r is equal to 64 · (22659 −1)+32. 2020 Mathematics Subject Classification. 11B83, 05A10, 11B75. Manuscript received 12th February 2020, revised 20th July 2020 and 22nd October 2020, accepted 23rd October 2020. Version française abrégée Dans [4], Conway et Guy ont introduit des nombres hyperharmoniques qui sont une généralisation des nombres harmoniques ordinaires. Mező [8] a d’abord conjecturé que les nombres hyperharmoniques n’étaient pas des entiers. Plusieurs articles [1–3, 5] dans la littérature soutiennent cette conjecture ; cependant, aucun d’entre eux ne la prouve. Dans cette note, nous prouvons qu’il existe une infinité d’entiers hyperharmoniques, et cela réfute la conjecture de Mező. En particulier, nous montrons que pour r = 64 · (2α− 1)+ 32, le nombre hyperharmonique h ) 33 est un entier pour 153 valeurs différentes de α(mod748440), où le plus petit r est 64 · (22659 −1)+32.