An algebraic semi-classical approach to Bloch electrons in a magnetic field

Abstract

Starting from Heisenberg's point of view, a semi-classical quantization method is introduced for 2D Bloch electrons in a magnetic field. The underlying lattice structure is used to define an algebraic structure. The (rotation) algebra so defined is non commutative, but allows for a systematic expansion of the magnetic energy levels, free energy, etc. near zero as well as an arbitrary rational flux. All previously derived results are recovered as special cases, but without involving wave function considerations (WKB, equation-of-motion methods, etc.). New results, up to second order in the magnetic flux, are explicity derived and simple examples are used to illustrate our general algebraic formalism En adoptant le point de vue de Heisenberg, on introduit une nouvelle methode de quantification semi-classique, pour les electrons de Bloch sous champ magnetique. La structure du reseau est utilisee pour definir une structure algebrique. L'algebre, dite de rotation, ainsi definie est non commutative, mais permet d'avoir un developpement systematique a flux nul ainsi qu'a flux rationnel quelconque. L'ensemble des resultats connus sont retrouves dans le cadre de notre formalisme, sans faire appel a la notion de fonction d'onde telle que dans la methode WKB ou celle de l'equation du mouvement par exemple. Des nouveaux resultats, jusqu'au second ordre en flux sont donnes ainsi que des exemples simples pour illustrer la methode algebrique