TRANSFORMATION DU PROBLÈME DE RÉSOLUTION DE SYSTÈMES DE TOEPLITZ BINIVEAUX À UN PROBLÈME POLYNOMIAL

Abstract

On presente une relation entre la solution d'un systeme de Toeplitz biniveaux, Tu = g, et les syzygies de polynomes a deux variables ou hyperplans mobiles. Cette approche nous donne la possibilite de definir les generateurs pour les matrices de Toeplitz biniveaux en utilisant les generateurs du module de syzygie correspondant. On demontre que ce module est generalise par 8 elements et que la solution de Tu = g peut etre interpretee comme le reste de la division d'un vecteur, dependant de g, par ces generateurs. Ce nouveau point de vu de resolution peut etre interprete comme une decomposition de Gohberg–Semencul [3, 5] pour les matrices de Toeplitz biniveaux. La difficulte de generaliser la notion de structure de deplacement [2, 4, 3] du cas scalaire (de niveau un) au cas par blocs, et l'absence de notion de generateurs pour les matrices de Toeplitz biniveaux sont a la base de l'absence d'une telle decomposition jusqu'a present. L'utilisation de cette idee pour resoudre les systemes de Toeplitz scalaires nous permet de donner un algorithme de resolution ultra rapide. L'absence de la notion de μ-base pour les modules de syzygies en plusieurs variables complique la situation pour les systemes de Toeplitz biniveaux, et l'obtention d'un algorithme de resolution ultra rapide utilisant cette approche reste un probleme ouvert.