On Lanczos' algorithm for tri-diagonalization

Abstract

The Lanczos algorithm transforming a given matrix into a tri-diagonal form is well known in numerical analysis and is discussed in many literatures. The possibility of this algorithm is shown in Rutishauser's excellent paper [ΊΓ]. However it seems to the author that no further theoretical consideration has been made since then. The process starts from a pair of trial vectors x\ and yλ. A pair of the ί-th iterated vectors x{ and y{ can be constructed successively if γj*χjφθ ( l ^ y ^ i —1). Hence, if yp+ι*xp+ι = 0 for somep

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关于三对角化的Lanczos算法

将给定矩阵转换成三对角线形式的Lanczos算法在数值分析中是众所周知的，并在许多文献中得到了讨论。Rutishauser的优秀论文[ΊΓ]展示了该算法的可能性。然而，在作者看来，从那时起，似乎没有进一步的理论考虑。这个过程从一对试验向量x\和yλ开始。如果γj*χjφθ (l ^ y ^ i -1)，则可以连续构造一对末梢迭代向量x{和y{。因此，如果对于somep的情况下，任何修改方法都是未知的。我们称前者为“幸运”，后者为“不幸”。在“不幸”的情况下，我们唯一要做的就是选择新的起始向量xu j，并重新开始，希望这种情况不会在以后发生。Rutishauser的结果(Q8[] Satz 1)保证了这种可能性。然而，在实际计算中，“幸运”情况经过多次修改后，可能会出现“不幸”情况。一旦我们遇到“不幸”的情况，我们必须放弃之前所做的所有努力，重新开始使用新的试验向量(如果我们坚持旧的知识)。那么一个问题自然出现了:真的有必要回到第一步吗?我们将在本文中讨论这个问题。粗略地说，答案如下:回到最新的修改就足够了。作为这个结果的一个特例，我们可以证明可以任意选择一个初始向量来避免“不幸”的情况。此外，还将证明存在一个向量x，使得从xι = jι = x开始的算法可以继续，从而不会发生“不幸”情况。这些结果将在§2的定理3-6中加以说明，并在第279页提出一个新的程序。最后，结合Lanczos算法，我们将在附录中给出关于三对角矩阵特征值位置的一些性质。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。