La formule des traces locale tordue

Abstract

Introduction On se propose de generaliser au cas tordu les resultats d’Arthur contenus dans les articles [A1] et [A7]. Soient F un corps local, G un groupe reductif connexe defini sur F et G un espace tordu sur G, au sens de Labesse (cf. 2.1). Nous imposons une condition a G (2.1(2)) qui revient a dire qu’il existe un groupe algebrique non connexe G defini sur F , de composante neutre G, tel que G soit une composante connexe de G. Mais la structure de groupe sur G ne joue aucun role, seules importent les actions a droite et a gauche de G sur G. Notons ZG le centre de G et ZG(F ) θ le sous-groupe des z ∈ ZG(F ) tels que zγ = γz pour tout γ ∈ G. On fixe un caractere unitaire ω de G(F ) dont la restriction a ZG(F ) θ est triviale. On s’interesse aux ”distributions” ω-equivariantes sur G(F ). Ce sont des formes lineaires l : C∞ c (G(F ))→ C telles que, pour tout f ∈ C∞ c (G(F )) et tout g ∈ G(F ), on ait l’egalite l(f) = ω(g)−1l(f), ou f est la fonction f(γ) = f(g−1γg). Il y a deux types basiques de telles distributions. D’abord les integrales orbitales. On fixe γ ∈ G(F ), disons fortement regulier. On note ZG(γ) son commutant dans G et on munit le quotient ZG(γ, F )\G(F ) d’une mesure invariante a droite. Pour f ∈ C∞ c (G(F )), l’integrale orbitale de f au point γ est