Random nilpotent groups, polycyclic presentations, and Diophantine problems

Abstract

Abstract We introduce a model of random finitely generated, torsion-free, 2-step nilpotent groups (in short, τ 2 {\tau_{2}} -groups). To do so, we show that these are precisely the groups with presentation of the form 〈 A , C ∣ [ a i , a j ] = ∏ t = 1 m c t λ t , i , j ( 1 ≤ i < j ≤ n ) , [ A , C ] = [ C , C ] = 1 〉 {\langle A,C\mid[a_{i},a_{j}]=\prod_{t=1}^{m}c_{t}^{\lambda_{t,i,j}}(1\leq i

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随机幂零群，多环表示和丢番图问题

摘要引入了一个随机有限生成、无扭转、2步幂零群(即τ 2 {\tau_{2}} -群)的模型。为此,我们表明,恰恰是这些组织的演讲形式< A, C∣[我、j] =∏t = 1 m C tλ,i, j(1≤我< j≤n), [A、C] = [C, C] = 1 >{中期\ langle A、C \[现代{},现代{j}] = \ prod_ {t = 1} ^ {m} c_ {t} ^ {\ lambda_ {t i, j}} (1 \ leq i < j % \ leq n), \ [A、C] = [C, C] = 1 \纠正},,={1,…,n}{= \{现代{1},\点,现代{n} \}}和C ={1,…,C m} {C = \ {c_{1}, \点,c_ {m} \}}。因此，可以通过固定a和C来选择一个随机的G，然后随机选择整数λ t,i,j {\lambda_{t,i,j}}，并且对于某些∑{\ \ell}， λ t,i,j}≤∑{|\lambda_{t,i,j}|\leq\ell}。我们证明如果m≥n - 1≥1 {m \组的n - 1 \组1},然后下面保持渐近几乎肯定ℓ→∞{\魔法\ \ infty}:戒指ℤ{\ mathbb {Z}} e-definable在G / G的丢番图问题是不可判定的,G的最大圈标量ℤ{\ mathbb {Z}}, G是不能分解的非阿贝尔群的直积,和Z⁢(G) = < C > {Z (G) = \ langle C \捕杀}。进一步研究了当Z(G)≤Is (G) {Z(G)\leq\operatorname{Is}(G^{\prime})}时的情形。最后，我们引入了任意幂零阶的随机多环群和随机f.g.幂零群的相似模型。然而，我们很快就会发现，后者也会产生有限群。

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