Explicit error bounds for Markov chain Monte Carlo

Abstract

Wir beweisen explizite, d.h., nicht-asymptotische Fehlerabschatzungen fur Markov-Ketten-Monte-Carlo-Methoden. Ziel ist es, den Erwartungswert einer Funktion f bzgl. eines Mases π zu berechnen. Verschiedene Konvergenzeigenschaften von Markov-Ketten implizieren verschiedene Fehlerabschatzungen. Fur gleichmasig ergodische und reversible Markov-Ketten beweisen wir eine untere und eine obere Fehlerschranke bzgl. der L2-Norm von f. Wenn eine L2-Spektrallucke existiert, die eine schwachere Konvergenzeigenschaft als die gleichmasige Ergodizitat darstellt, dann zeigen wir eine obere Fehlerschranke bzgl. der Lp-Norm fur p>2. Das so genannte Aufwarmen ist ein gebrauchliches Mittel um den Algorithmus abzustimmen. Wir schlagen ein Rezept fur die Wahl der Aufarmzeit vor und begrunden dieses ausfuhrlich. Die Fehlerabschatzungen werden anschliesend auf das Problem der Integration bzgl. einer nicht normierten Dichte angewendet. Genauer gesagt betrachten wir die Integration bzgl. log-konkaver Dichtefunktionen und die Integration uber konvexe Korper. Durch die Verwendung des Metropolis-Algorithmus und des Hit-and-run-Algorithmus zeigen wir, dass diese beiden Probleme "polynomial tractable" sind.