Розширені бінарні коди Голея за груповою алгеброю групи C₃ × D₈

Abstract

Бінарні коди Голея вивчалися довгий період і було встановлено багато різних конструкцій для їх побудови, а також з'ясовано багато властивостей цих кодів. У статті розглянуто побудову розширених бінарних кодів Голея за головними ідеалами (лівими) груповою алгеброю F2(C3 × D8) групи (C3 × D8) порядку 24 над полем з двох елементів F2. Розглядається дія регулярного зображення v → σ(v) на елементах v групової алгебри. Рядки матриці σ(v) породжують лінійний бінарний код C(v). У попередніх дослідженнях з'ясовано кількість всіх елементів v групової алгебри F2 скінченних груп (C6 × C2) ⋊ C2 та D24 таких, що бінарний код C(v) є розширеним бінарним кодом Голея. Раніше таким способом розширений бінарний код Голея будувався за одним елементом v ∈ F2, що v = v*. В результаті числових обчислень знайдено всі 12 288 елементів v ∈ F2(C3 × D8), за якими можна побудувати розширений бінарний код Голея, серед яких 128 задовольняє умову v = v*.