Кратностi ваг незвiдних зображень алгебри Лі sl3

Abstract

В даній статті для комплексної алгебри Лі sl3 запропонована явна формула знаходження кратності ваги незвідного зображення Γλ, яке визначається старшою вагою λ = (a,b). Множина всіх ваг Λ такого зображення утворює групове кільце Z[Λ] з мультиплікативним базисом e(μ),μ ∈ Λ. Характер зображення Char Γλ є елементом Z[Λ], коефіцієнти якого і є шуканими кратностями. Головна ідея обчислень полягає у специфікації базису e(μ) = xμ1yμ2 групового кільця Z[Λ]. Це дало можливість представити характер Char Γλ  незвідного Γλ  зображення як многочлен Шура $s_{a,b}\left(x,\dfrac{y}{x}, \dfrac{1}{y} \right)$ від двох змінних $x,y$ . Як наслідок ми виразити коефіцієнти цього многочлена через прості функції, які легко обчислюються за лінійний час. Ключову роль в обчисленні зіграли знайдені явно коефіцієнти розкладу ряду$$\Delta=\dfrac{1}{\left( {y}^{2}-x \right) \left(1- yx \right) \left( y-{x}^{2} \right)},$$ в термінах функції $$c(n,k)= \left \{\begin{array}{l}\min(n{-}k+2,k) , 1 \leq k \leq n+1, \\\\0, \text{ {\rm в іншому випадку.} }\end{array}\right.$$