An existence result for $p$-Laplace equation with gradient nonlinearity in $\mathbb{R}^N$

Abstract

We prove the existence of a weak solution to the problem \begin{equation*} \begin{split} -\Delta_{p}u+V(x)|u|^{p-2}u & =f(u,|\nabla u|^{p-2}\nabla u), \ \ \ \\ u(x) & >0\ \ \forall x\in\mathbb{R}^{N}, \end{split} \end{equation*} where $\Delta_{p}u=\hbox{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ is the $p$-Laplace operator, $1

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$\mathbb{R}^N$中具有梯度非线性的$p$-拉普拉斯方程的存在性结果

我们证明了问题\ begin｛方程*｝\ begin{split｝-\Delta的弱解的存在性_{p}u+V（x）|u|^{p-2}u&=f（u，|\nabla u|^｛p-2｝\nabla u），\\\\u（x）&>0\\\for all x\in\mathbb｛R｝^｛N｝，\end｛split｝\end{equipment*｝其中$\Delta_{p}u=\hbox｛div｝（|\nabla u|^｛p-2｝\nabla u）$是$p$-拉普拉斯算子，$1＜p＜N$，非线性$f:\mathbb｛R｝\times\mathbb{R｝^｛N｝\rightarrow\mathbb｛R}$是连续的，它取决于解的梯度。我们使用一种基于山口定理的迭代技术来证明我们的存在性结果。

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