The Brunn-Minkowski Inequality and A Minkowski Problem for Nonlinear Capacity

Abstract

In this article we study two classical potential-theoretic problems in convex geometry. The first problem is an inequality of Brunn-Minkowski type for a nonlinear capacity, Cap A , \operatorname {Cap}_{\mathcal {A}}, where A \mathcal {A} -capacity is associated with a nonlinear elliptic PDE whose structure is modeled on the p p -Laplace equation and whose solutions in an open set are called A \mathcal {A} -harmonic.

In the first part of this article, we prove the Brunn-Minkowski inequality for this capacity: \[ [ Cap A ⁡ ( λ E 1 + ( 1 − λ ) E 2 ) ] 1 ( n − p ) ≥ λ [ Cap A ⁡ ( E 1 ) ] 1 ( n − p ) + ( 1 − λ ) [ Cap A ⁡ ( E 2 ) ] 1 ( n − p ) \left [\operatorname {Cap}_\mathcal {A} ( \lambda E_1 + (1-\lambda ) E_2 )\right ]^{\frac {1}{(n-p)}} \geq \lambda \, \left [\operatorname {Cap}_\mathcal {A} ( E_1 )\right ]^{\frac {1}{(n-p)}} + (1-\lambda ) \left [\operatorname {Cap}_\mathcal {A} (E_2 )\right ]^{\frac {1}{(n-p)}} \] when 1 > p > n , 0 > λ > 1 , 1>p>n, 0 > \lambda > 1, and E 1 , E 2 E_1, E_2 are convex compact sets with positive A \mathcal {A} -capacity. Moreover, if equality holds in the above inequality for some E 1 E_1 and E 2 , E_2, then under certain regularity and structural assumptions on

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Brunn—Minkowski不等式与非线性容量的一个Minkowsky问题

本文研究了凸几何中的两个经典势论问题。第一个问题是非线性容量Cap a \算子名的Brunn Minkowski型不等式{Cap}_｛\mathcal｛A｝｝，其中A\mathcal｝-容量与一个非线性椭圆PDE有关，该椭圆PDE的结构以p-p-Laplace方程为模型，其在开集中的解称为A\mathical｛A〕-harmonic。在本文的第一部分中，我们证明了这个容量的Brun-Minkowski不等式：\[[Cap A⁡ （λE1+（1−λ）E2）]1（n−p）≥λ[第A章⁡ （E1）]1（n−p）+（1−λ）[第A章⁡ （E2）]1（n−p）\left[\operator name{Cap}_\mathcal｛A｝（\lambda E_1+（1-\lambda）E_2）\right]^｛\frac｛1｝｛（n-p）｝｝\geq\lambda\，\left[\operatorname{Cap}_\mathcal｛A｝（E_1）\right]^｛\frac｛1｝｛（n-p）｝｝+（1-\lambda）\left[\operatorname{Cap}_\当1>p>n，0>λ>1，1>p>n，0>\lambda>1和E1，E2 E_1，E_2是具有正A\mathcal｛A｝-容量的凸紧集。此外，如果在某些E1 E_1和E2，E_2的上述不等式中成立等式，则在

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