Probabilistic local Cauchy theory of the cubic nonlinear wave equation in negative Sobolev spaces

Abstract

— We study the three-dimensional cubic nonlinear wave equation (NLW) with random initial data below L2(T3). By considering the second order expansion in terms of the random linear solution, we prove almost sure local wellposedness of the renormalized NLW in negative Sobolev spaces. We also prove a new instability result for the defocusing cubic NLW without renormalization in negative Sobolev spaces, which is in the spirit of the so-called triviality in the study of stochastic partial differential equations. More precisely, by studying (unrenormalized) NLW with given smooth deterministic initial data plus a certain truncated random initial data, we show that, as the truncation is removed, the solutions converge to 0 in the distributional sense for any deterministic initial data. Résumé. — On étudie l’équation des ondes non linéaire cubique (NLW) en dimension 3 avec une donnée initiale aléatoire en-dessous de L2(T3). En considérant le développement d’ordre 2 en termes de la solution aléatoire linéaire, on prouve le caractère presque sûrement localement bien posé de NLW renormalisée dans les espaces de Sobolev d’indices négatifs. On montre aussi un nouveau résultat d’instabilité pour l’équation NLW cubique défocalisante sans renormalisation dans les espaces de Sobolev d’indices négatifs, dans l’esprit du caractère non trivial dans l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques. Plus précisément, en étudiant NLW non renormalisée avec des données initiales régulières déterministes plus une donnée initiale aléatoire tronquée, on montre que, dès que la troncature est supprimée, les solutions tendent vers 0 au sens des distributions pour toute donnée initiale déterministe.