Another Proof of the Nowicki Conjecture

Abstract

Let $K[X_d,Y_d]=K[x_1,\ldots,x_d,y_1,\ldots,y_d]$ be the polynomial algebra in $2d$ variables over a field $K$ of characteristic 0 and let $\delta$ be the derivation of $K[X_d,Y_d]$ defined by $\delta(y_i)=x_i$, $\delta(x_i)=0$, $i=1,\ldots,d$. In 1994 Nowicki conjectured that the algebra $K[X_d,Y_d]^{\delta}$ of constants of $\delta$ is generated by $X_d$ and $x_iy_j-y_ix_j$ for all $1\leq i

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Nowicki猜想的另一个证明

设$K[X_d，Y_d]=K[X_1，\ldots，X_d，Y_1，\lots，Y_d]$是特征为0的字段$K$上的$2d$变量中的多项式代数，设$\delta$是由$\delta（Y_i）=X_i$，$\delda（X_i）=0$，$i=1，\ldts，d$定义的$K[X_d，Y_d]$的导数。1994年，Nowicki推测$\delta$的常数的代数$K[X_d，Y_d]^｛\delta}$是由$X_d$和$X_iy_j-Y_ix_j$对所有$1\leq i＜j\leq d$生成的。几位作者用不同的观点给出了肯定的答案。本文基于广义线性群$GL_2（K）$的表示理论，给出了该猜想的另一个证明。

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