Orbital counting for some convergent groups

Abstract

— We present examples of geometrically finite manifolds with pinched negative curvature, whose geodesic flow has infinite non-ergodic Bowen–Margulis measure and whose Poincaré series converges at the critical exponent δΓ. We obtain an explicit asymptotic for their orbital growth function. Namely, for any α ∈ ]1, 2[ and any smooth slowly varying function L : R → (0,+∞), we construct N dimensional Hadamard manifolds (X, g) of negative and pinched curvature, whose group of oriented isometries possesses convergent geometrically finite subgroups Γ such that, as R→ +∞, NΓ(R) := ]{γ ∈ Γ | d(o, γ · o) 6 R} ∼ CΓ(o) L(R) Rα eΓ, for some CΓ(o) > 0 depending on the base point o. Résumé. — Nous construisons des variétés géométriquement finies à courbure strictement négative pincée, dont le flot géodésique possède une mesure de BowenMargulis non ergodique infinie, et dont la série de Poincaré converge à l’exposant δΓ, et nous obtenons une estimation précise du comportement asymptotique de la fonction orbitale de ce groupe. Plus précisément, pour tout α ∈ ]1, 2[ et toute fonction à variations lentes L : R → (0,+∞), nous construisons des variétés de Hadamard (X, g) de dimension N > 2 dont le groupe des isométries qui préservent l’orientation possède des sous-groupes discrets et géométriquement finis Γ tels que, lorsque R→ +∞, NΓ(R) := ]{γ ∈ Γ | d(o, γ · o) 6 R} ∼ CΓ(o) L(R) Rα eΓ, où CΓ(o) est une constante strictement positive qui dépend du point o.