Principalisation abélienne des groupes de classes logarithmiques

Abstract

Résumé. Nous transposons aux ℓ -groupes de classes logarithmiques attachées à un corps de nombres les résultats sur la principalisation abélienne des groupes de classes de rayons modérées. En particulier nous montrons que pour toute extension K/ k de corps de nombres complètement décomposée en au moins une place à l’infini, il existe sous la conjecture de Gross-Kuz’min dans K une infinité de ℓ -extensions abéliennes F/ k pour lesquelles le sous-groupe relatif e C ℓ K/ k = Ker( e C ℓ K → e C ℓ k ) du ℓ -groupe des classes logarithmiques de K capitule dans le compositum KF . Abstract. We extend to logarithmic class groups the results on abelian principalization of tame ray class groups of a number field obtained in a previous article. As a consequence, for any extension K/ k of number fields which satisfies the Gross-Kuz’min conjecture for the prime ℓ and where at least one of the infinite places completely splits, we prove that there exists infinitely many abelian ℓ -extensions F/ k such that the relative subgroup e C ℓ K/ k = Ker( e C ℓ K → e C ℓ k ) of the ℓ -group of logarithmic classes of K capitulates in the compositum FK .