Gabriel's problem for harmonic Hardy spaces

arXiv - MATH - Complex Variables Pub Date : 2024-08-13 DOI:arxiv-2408.06623

Suman Das

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Abstract

We obtain inequalities of the form $$\int_C |f(z)|^p |dz| \leq A(p) \int_{\mathbb{T}} |f(z)|^p |dz|, \quad (p>1)$$ where $f$ is harmonic in the unit disk $\mathbb{D}$, $\mathbb{T}$ is the unit circle, and $C$ is any convex curve in $\mathbb{D}$. Such inequalities were originally studied for analytic functions by R. M. Gabriel [Proc. London Math. Soc. (2), 28(2):121-127, 1928]. We show that these results, unlike in the case of analytic functions, cannot be true in general for $0< p \le 1$. Therefore, we produce an inequality of a slightly different type, which deals with the case $0

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谐波哈代空间的加布里埃尔问题

我们可以得到如下形式的不等式 $$\int_C |f(z)|^p |dz| \leq A(p)\int_{mathbb{T}}.|f(z)|^p |dz|, \quad (p>1)$$ 其中 $f$ 是单位圆盘 $\mathbb{D}$ 中的谐波，$\mathbb{T}$ 是单位圆，$C$ 是 $\mathbb{D}$ 中的任意凸曲线。这种不等式最初是由 R. M. Gabriel 针对解析函数研究的[Proc. London Math. Soc. (2), 28(2):121-127, 1928]。我们证明，与解析函数的情况不同，这些结果在一般情况下对于 $0< p \le 1$ 不能成立。因此，我们提出了一个略有不同的不等式，来处理 $0

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