On bifurcations of separatrix contours of dynamical systems with involutive symmetry

Abstract

Рассматривается двухпараметрическое семейство гладких вектор-ных полей на плоскости, инвариантных относительно инволюции I. Предполагается, что инволюция имеет единственную неподвижную точку O, причем для векторных полей се-мейства точка O является гиперболическим седлом с ненулевой седловой величиной, се-паратрисы которого при нулевых значениях параметров идут в два симметричных от-носительно I седло-узла, образуя полицикл, гомеоморфный «восьмерке». Для типичных семейств в случаях положительной и отрицательной седловой величины получены би-фуркационные диаграммы – разбиение окрестности нуля на плоскости параметров на классы топологической эквивалентности векторных полей в окрестности полицикла. A two-parameter family of smooth vector fields on the plane that are invariant under the involution I is considered. It is assumed that the involution has a single fixed point O and for the family of vector fields the point O is a hyperbolic saddle with nonzero saddle value, the separatrices of which, for zero parameter values, go to two saddle-nodes symmetric with re-spect to I, forming a polycycle homeomorphic to the figure eight. For generic families in the cases of positive and negative saddle values, bifurcation diagrams are obtained, that is, it is ful-filed a partition of a neighborhood of zero on the parameter plane into classes of topological equivalence of vector fields in a neighborhood of a polycycle.