The d-elements of precoherent preidempotent quantales and their applications

Pub Date : 2024-06-03 DOI:10.1093/jigpal/jzae063

Xianglong Ruan

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Abstract

In this paper, we introduce the notion of d-elements on precoherent preidempotent quantale (PIQ), construct Zariski topology on $Max(Q_{d})$ and explore its various properties. Firstly, we give a sufficient condition of a topological space $Max(Q_{d})$ being Hausdorff. Secondly, we prove that if $ P=\mathfrak{B}(P) $ and $ Q=\mathfrak{B}(Q) $, then $P$ is isomorphic to $Q$ iff $ Max(P_{d}) $ is homeomorphic to $ Max(Q_{d}) $. Moreover, we prove that $ (P\otimes Q)_{d} $ is isomorphic to $ P_{d} \otimes Q_{d} $ iff $ P_{d} \otimes Q_{d}=(P_{d} \otimes Q_{d})_{d} $. Finally, we prove that the category $ \textbf{dPFrm} $ is a reflective subcategory of $\textbf{PIQuant}.$

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前相干先验量子的 d 元素及其应用

在本文中，我们引入了前相先验量子空间（PIQ）上的 d 元素概念，在 $Max(Q_{d})$ 上构建了扎里斯基拓扑学，并探讨了它的各种性质。首先，我们给出了拓扑空间 $Max(Q_{d})$ 是 Hausdorff 的充分条件。其次，我们证明如果 $ P=\mathfrak{B}(P) $ 和 $ Q=\mathfrak{B}(Q) $ 是同构的，那么如果 $ Max(P_{d}) $ 与 $ Max(Q_{d}) $ 是同构的，那么 $P$ 与 $Q$ 就是同构的。此外，我们证明 $ (P\otimes Q)_{d} $ 与 $ P_{d} 是同构的。\otimes Q_{d} $ 如果 $ P_{d}\otimes Q_{d}=(P_{d} \otimes Q_{d})_{d} $。最后，我们证明类别 $ \textbf{dPFrm} $ 是 $\textbf{PIQuant} 的反射子类。

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