ЗВ'ЯЗОК МІЖ ГІПЕРБОЛОЮ І ЕЛІПСОМ НА ПОВЕРХНІ КУЛІ

Abstract

У плоских і сферичних кривих є спільні властивості, які використовуються на практиці. Плоскі криві можуть як завгодно ковзати у площині, здійснюючи в ній як поступальний, так і обертальний рухи. Аналогічні рухи можуть здійснювати сферичні криві, переміщуючись з одного її положення в інше. Наприклад, аналогом кола у площині є теж коло на поверхні сфери. Обидві криві є плоскими. Аналогом еліпса у площині є сферичний еліпс, який є просторовою кривою, але графічні способи побудови є спільними як для площини, так і для поверхні кулі. Ці спільні геометричні властивості використовуються при створенні сферичних механізмів, які є аналогами плоских. Наприклад, пара кіл, які обертаються навколо нерухомих центрів і одночасно ковзають без ковзання одне по одному, є основою проектування центроїд для зубчастих циліндричних передач між паралельними осями. Такі ж самі кола на поверхні кулі є основою проектування центроїд для зубчастих конічних передач між осями, які перетинаються у центрі сфери. В основі утворення сферичних кривих лежать графічні побудови, аналогічні для кривих на площині. Наприклад, еліпс на площині утворюється як геометричне місце точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок є сталою. Сферичний еліпс утворюється аналогічно з урахуванням того, що відстані вимірюються на поверхні сфери дугами великих кіл. Радіус сфери зручно приймати рівним одиниці, тоді відстань на її поверхні вимірюється кутами. Різниця між еліпсом і гіперболою полягає в тому, що у першому випадку сталою є сума відстаней, а у другому – різниця. Задані точки називаються фокусами кривих. Якщо фокуси для еліпса і гіперболи є спільними, то такі криві називаються співфокусними. Задавши сталу відстань між фокусами і змінюючи суму або різницю відстаней до них від поточної точки кривої, можна отримати сім’ї співфокусних еліпсів і гіпербол. Вони утворюють ортогональну сітку як на площині, так і на сфері. Особливістю є те, що на сфері аналог плоскої гіперболи є сферичним еліпсом, причому двом віткам гіперболи на площині відповідають два еліпси на поверхні кулі. В статті показано взаємозв’язок між гіперболою і еліпсом на поверхні кулі. Особливістю цього взаємозв’язку є те, що аналогом гіперболи на кулі є сферичний еліпс. Виведено параметричні рівняння співфокусних сферичних гіпербол і еліпсів. Побудовано на поверхні кулі ортогональні сітки, утворені співфокусними сферичними еліпсами і гіперболами.