具有完全特性边界的双曲问题

Abstract We study first-order symmetrizable hyperbolic \(N\times N\) systems in a spacetime cylinder whose lateral boundary is totally characteristic.在边界附近的局部坐标处（x=0），这些系统的形式为 $$\begin{aligned}。\partial _t u + {{mathcal {A}}(t,x,y,xD_x,D_y) u = f(t,x,y), \quad (t,x,y)\in (0,T)\times {{mathbb {R}}_+times {{mathbb {R}}}^d, \end{aligned}$$ 其中 \({{mathcal {A}}(t. x,y,xD_x,D_y)) u = f(t,x,y)、x,y,xD_x,D_y)）是一阶微分算子，其系数在 \(x=0\) 时是平滑的，并且相对于 x 的导数出现在 \(xD_x\) 组合中。在这种情况下不需要边界条件，相应的初值-边界问题实际上就是考希问题。我们引入了具有渐近性的索波列夫空间的某一尺度，并证明算子 \(\partial _t + {{\mathcal {A}}(t,x,y,xD_x,D_y)\) 的考奇问题在该尺度下是好求的。更具体地说，解 u 呈现出形式为 $$\begin{aligned} u(t,x,y) \sim \sum _{(p,k)} \frac{(-1)^k}{k!}x^{-p} 的形式渐近展开。\log ^k\！x \, u_{pk}(t,y) \quad \hbox { as}\x\rightarrow +0 \end{aligned}$$ 其中 \((p,k)\in {{mathbb {C}}}\times {{mathbb {N}}}_0\) and \(\Re p\rightarrow -\infty \) as \(|p|rightarrow \infty \) 、条件是右手边 f 和初始数据 \(u|_{t=0}\)允许类似形式的 \(x \rightarrow +0\)渐近展开，奇异指数 p 及其乘数不变。事实上，系数 \(u_{pk}/)一般来说不够规则，无法将渐近展开中出现的项写成张量乘积。这种情况需要对函数空间进行额外的分析。此外，我们还证明了系数 \(u_{pk}\)解决了横向边界中某些明确已知的一阶对称双曲系统。特别是，我们可以得出算子 \(\partial _t+{{\mathcal {A}}}(t,x,y,xD_x,D_y)\) 的 Cauchy 问题在标准 Sobolev 空间 \(H^s((0,T)\times {{\mathbb {R}}}_+^{1+d})\) 的尺度上是很好解决的。