系数在时间上可测、在空间上迪尼连续的 KFP 算子

Abstract We consider degenerate Kolmogorov-Fokker-Planck operators $$\begin{aligned} （我们考虑退化的 Kolmogorov-Fokker-Planck 算子）。\mathcal {L}u&=/sum _{i,j=1}^{m_{0}}a_{ij}(x,t)\partial _{x_{i}x_{j}}^{2}u+sum _{k,j=1}^{N}b_{jk}x_{k} （部分） _{x_{j}}u- （部分） _{t}u\&；\equiv _{i,j=1}^{m_{0}}a_{ij}(x,t)\partial _{x_{i}x_{j}}^{2}u+Yu \end{aligned}$$ （其中 （（x、t)in \mathbb {R}^{N+1}\) and\(1\le m_{0}\le N\) )，这样具有常数 \(a_{ij}\) 的相应模型算子就是次椭圆的，平移不变的。(\mathbb{R}^{N+1}\)中的一个李群运算时是次椭圆的、平移不变的，并且在非各向同性的扩张族中是2-同调的。矩阵 \((a_{ij})_{i,j=1}^{m_{0}}\) 在 \(\mathbb {R}^{m_{0}}\) 上对称且均匀为正。系数 \(a_{ij}\)在空间上是有界和迪尼连续的，而在时间上只有有界可测。这意味着，设置 $$\begin{aligned}\mathrm {(i)}&\,\,S_{T}=\mathbb {R}^{N}\times \left( -\infty ,T\right) ,\\mathrm {(ii)}&；\sup _{begin{array}{c} (x,t),(y,t)\in S_{T}\Vert x-y\Vert \le r \end{array}}\vert f(x,t) -f(y,t)\vert \\mathrm {(iii)}&；\f\Vert _{mathcal {D}( S_{T}) } =\int _{0}^{1}\frac{omega _{f,S_{T}}(r) }{r}dr+\Vert f\Vert _{L^{\infty }\left( S_{T}\right) }\end{aligned}$$ 我们要求 \(\Vert a_{ij}\Vert _{mathcal {D}(S_{T})}\) 的有限性。We bound \(\omega _{u_{x_{i}x_{j}},S_{T}}\) , \(\Vert u_{x_{i}x_{j}}\Vert _{L^{infty }( S_{T}) }\) ( （ i,j=1,2,...,m_{0}\) ), \(\omega _{Yu,S_{T}}\) ,\(\Vert Yu\Vert _{L^{infty }( S_{T}) }\) in terms of \(\omega _{mathcal {L}u、S_{T}}\) ,\(\Vert \mathcal {L}u\Vert _{L^{\infty }( S_{T}) }\) and\(\Vert u\Vert _{L^{\infty }\left( S_{T}\right) }\)如果 \(\mathcal {L}u\) 在空间中是有界的和迪尼连续的，那么就可以控制 \(u_{x_{i}x_{j}},Yu\) 在空间中的均匀连续性。在系数 \(a_{ij}\) 和 \(\mathcal {L}u\) 都是对数-迪尼连续的额外假设下，意味着数量 $$\begin{aligned} 的有限性。\int _{0}^{1}\frac{omega _{f,S_{T}}\left( r\right) }{r}\left| \log r\right| dr, \end{aligned}$$我们证明\(u_{x_{i}x_{j}}\)和Yu是Dini连续的；此外，在这种情况下，导数\(u_{x_{i}x_{j}}\)在空间和时间上是局部均匀连续的。