{"title":"ЕКСТРЕМАЛЬНА ЗАДАЧА У ЗГОРТКАХ З ДВОМА ЯДРАМИ","authors":"Ю. О. Григор’єв","doi":"10.36910/775.24153966.2023.76.4","DOIUrl":null,"url":null,"abstract":"Розглянуто ситуацію, коли інтегральне рівняння з двома ядрами у згортках не має розв’язків. Тоді нетривіальною стає задача побудована у згортках з двома ядрами сформована на базі інтегрального рівняння та обмежена мінімальною функціональною залежністю. Де ядерні функції належать певному класу, є задана функція і шукана функція, які належать до підкласу, вагова функція обмежена зверху і знизу додатними сталими.У даній роботі запропоновано наступну методику розв’язання цієї екстремальної задачі. Використовуючи умови розв’язності інтегрального рівняння та позначивши вираз під модулем через сталу, прийдемо до задачі мінімізації квадратичного функціоналу з шуканою функцією і лінійними функціоналами у додаткових умовах.В роботі доведено, що отримана екстремальна задача має єдиний розв’язок та знайдено цей розв’язок. Таким чином, у роботі показано перехід до розв’язного рівняння з двома ядрами.В образах Фур’є дане рівняння зведено до задачі Рімана на осі абсцис теорії аналітичних функцій і розв’язано в квадратурах. Розв’язок єдиний.В роботі наведено алгоритм розв’язання поставленої екстремальної задачі та приклад. У сучасній теорії функцій з комплексною змінною однією з найважливіших областей досліджень є теорія крайових (граничних) задач у класах аналітичних функцій та їх різних узагальнень.Оператори типу згортки часто зустрічаються при вивченні лінійних систем. Якщо на вхід такої системи подаються певні сигнали, то сигнал на виході представляється у вигляді згортки двох функцій. При цьому одна з функція називається імпульсною функцією відгуку, а її образ Фур’є – передаточною функцією системи. Значить, поставлену задачу можна трактувати так: імпульсну функцію відгуку потрібно підібрати так, щоб сигнал на виході системи якомога менше відрізнявся б від попередньо заданої функції.Результати, отримані в ході виконання представленої роботи, можуть бути використані для розробки наближених чисельно-аналітичних розв’язків задачі.","PeriodicalId":518020,"journal":{"name":"<h1 style=\"font-size: 40px;margin-top: 0;\">Наукові нотатки</h1>","volume":null,"pages":null},"PeriodicalIF":0.0000,"publicationDate":"2024-01-29","publicationTypes":"Journal Article","fieldsOfStudy":null,"isOpenAccess":false,"openAccessPdf":"","citationCount":"0","resultStr":null,"platform":"Semanticscholar","paperid":null,"PeriodicalName":"<h1 style=\"font-size: 40px;margin-top: 0;\">Наукові нотатки</h1>","FirstCategoryId":"1085","ListUrlMain":"https://doi.org/10.36910/775.24153966.2023.76.4","RegionNum":0,"RegionCategory":null,"ArticlePicture":[],"TitleCN":null,"AbstractTextCN":null,"PMCID":null,"EPubDate":"","PubModel":"","JCR":"","JCRName":"","Score":null,"Total":0}
引用次数: 0
Abstract
Розглянуто ситуацію, коли інтегральне рівняння з двома ядрами у згортках не має розв’язків. Тоді нетривіальною стає задача побудована у згортках з двома ядрами сформована на базі інтегрального рівняння та обмежена мінімальною функціональною залежністю. Де ядерні функції належать певному класу, є задана функція і шукана функція, які належать до підкласу, вагова функція обмежена зверху і знизу додатними сталими.У даній роботі запропоновано наступну методику розв’язання цієї екстремальної задачі. Використовуючи умови розв’язності інтегрального рівняння та позначивши вираз під модулем через сталу, прийдемо до задачі мінімізації квадратичного функціоналу з шуканою функцією і лінійними функціоналами у додаткових умовах.В роботі доведено, що отримана екстремальна задача має єдиний розв’язок та знайдено цей розв’язок. Таким чином, у роботі показано перехід до розв’язного рівняння з двома ядрами.В образах Фур’є дане рівняння зведено до задачі Рімана на осі абсцис теорії аналітичних функцій і розв’язано в квадратурах. Розв’язок єдиний.В роботі наведено алгоритм розв’язання поставленої екстремальної задачі та приклад. У сучасній теорії функцій з комплексною змінною однією з найважливіших областей досліджень є теорія крайових (граничних) задач у класах аналітичних функцій та їх різних узагальнень.Оператори типу згортки часто зустрічаються при вивченні лінійних систем. Якщо на вхід такої системи подаються певні сигнали, то сигнал на виході представляється у вигляді згортки двох функцій. При цьому одна з функція називається імпульсною функцією відгуку, а її образ Фур’є – передаточною функцією системи. Значить, поставлену задачу можна трактувати так: імпульсну функцію відгуку потрібно підібрати так, щоб сигнал на виході системи якомога менше відрізнявся б від попередньо заданої функції.Результати, отримані в ході виконання представленої роботи, можуть бути використані для розробки наближених чисельно-аналітичних розв’язків задачі.