General Nondegenerate Solution of a System of Functional Equations

Abstract

Системы функциональных уравнений вида $f(\bar x,\bar y,\bar \xi,\bar \eta,\bar \mu,\bar \nu ) = \chi (g(x,y,\xi,\eta ),\mu,\nu )$ с~шестью неизвестными функциями $\bar x$, $\bar y$, $\bar \xi$, $\bar \eta$, $\bar \mu$, $\bar \nu $ возникают при установлении взаимного вложения двуметрических феноменологически симметричных геометрий двух множеств (ДФС ГДМ). При установлении вложения аддитивной ДФС ГДМ ранга $(2, 2)$ с известной вектор-функцией $g(x,y,\xi,\eta ) = ({g^1},{g^1}) = (x + \xi,y + \eta )$ в дуальную ДФС ГДМ ранга $(3, 2)$ с известной вектор-функцией $f(x,y,\xi,\eta,\mu,\nu ) = ({f^1},{f^2}) = (x\xi + \mu,x\eta + y\xi + \nu )$ явный вид системы двух функциональных уравнений будет следующим: $\overline x \overline \xi+\overline \mu = \chi^1(x + \xi,y + \eta,\mu,\nu )$, $\overline x\overline\eta+\overline y\overline\xi+\overline\nu=\chi^2(x+\xi,y+\eta,\mu,\nu)$. Эта система двух функциональных уравнений разрешима, поскольку выражения вектор-функций $g$ и $f$, входящие в систему, известны. Чтобы найти общее невырожденное решение заданной системы функциональных уравнений, необходимо разработать метод решения, что представляет собой интересную и содержательную математическую задачу. Основа метода состоит в дифференцировании одного из функциональных уравнений, входящих в систему, с последующим переходом к дифференциальным уравнениям. Далее, решения дифференциальных уравнений подставляются во второе функциональное уравнение исходной системы функциональных уравнений, откуда при соответствующих ограничениях находится общее невырожденное ее решение. Данный метод может быть развит и применен к другим такого же вида системам функциональных уравнений, возникающих в рамках задачи вложения ДФС ГДМ, для нахождения их общего невырожденного решения.