On Overgroups of a Cycle Rich in Transvections

Abstract

Говорят, что подгруппа $H$ полной линейной группы $GL(n, R)$ порядка $n$ над кольцом $R$ богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции $t_{ij}(\alpha)=e+\alpha e_{ij}$ на всех позициях $(i, j)$, $i\neq j$, для некоторых $\alpha\in R$, $\alpha\neq 0$. Это понятие ввел З.~И.~Боревич, рассматривая задачу описания подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Известно, что надгруппа нерасщепимого максимального тора, содержащая элементарную трансвекцию на некоторой одной позиции, богата трансвекциями. Для коммутативной области $R$ с единицей и цикла $\pi=(1 \ 2 \ \ldots n)\in S_n$ длины $n$ доказано следующее утверждение. Для того чтобы подгруппа $\langle t_{ij}(\alpha),(\pi) \rangle$ полной линейной группы $GL(n, R)$, порожденная матрицей-перестановкой $(\pi)$ и трансвекцией $t_{ij}(\alpha)$, была богата трансвекциями, необходимо и достаточно, чтобы число $i-j$ было взаимно просто с $n$. Система аддитивных подгрупп $\sigma=(\sigma_{ij})$, $1\leq i,j\leq n$, кольца $R$ называется сетью (ковром) над кольцом $R$ порядка $n$, если $\sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}} $ при всех значениях индексов $i$, $r$, $j$ (З.~И.~Боревич, В.~М.~Левчук). Такая же система, но без диагонали, называется элементарной сетью. Полную или элементарную сеть $\sigma = (\sigma_{ij})$ мы называем неприводимой, если все аддитивные подгруппы $\sigma_{ij}$ отличны от нуля. В работе определяются слабо насыщенные сети, которые играют важную роль в~доказательстве основного результата.