The Absence of Global Solutions of the Fourth-Order Gauss Type Equation

Abstract

Рассматриваются решения двумерного уравнения четвертого порядка с бигармоническим оператором и экспоненциальной относительно решения нелинейностью, являющегося аналогом классического уравнения второго порядка Гаусса - Бибербаха - Радемахера, которое ранее рассматривалось многими авторами в связи с задачами геометрии поверхностей с отрицательной гауссовой кривизной, динамики разреженного газа, теории автоморфных функций. Получены условия, при которых решение не может существовать в круге достаточно большого радиуса. Показано, что глобальные решения на плоскости могут существовать, только если коэффициент при нелинейности вырождается в бесконечности со скоростью не меньше, чем $\exp\{-|x|^2\ln|x|\}$. Показано, что в противном случае среднее значение решения на окружности радиуса $r$ должно было бы расти к $+\infty$ с~экспоненциальной скоростью при $r\to\infty$. Методом нелинейной емкости Похожаева~--- Митидиери, основанного на выборе подходящих срезающих пробных функций, доказывается невозможность существования такого растущего глобального решения. Также для решений в ${\mathbb R}^n$, периодических по всем переменным, кроме одной переменной $x_1$, аналогичными методами получено отсутствие глобальных решений при вырождении коэффициента при нелинейности со скоростью, медленней, чем $\exp\{-x_1^3\}$.