具有临界指数和对数项的椭圆系统的正解：高维情况

Abstract In this paper, we consider the coupled elliptic system with critical exponent and logarithmic terms: $$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u=\lambda _{1}u+ \mu _1|u|^{2p-2}u+\beta |u|^{p-2}|v||^{p}u+\theta _1 u\log u^2, &{}\quad x\in \Omega ,\\ -\Delta v=\lambda _{2}v+ \mu _2|v|^{2p-2}v+\beta |u|^{p}|v|^{p-2}v+\theta _2 v\log v^2, &；{}\quad x\in \Omega ,\ u=v=0, &{}\quad x \in \partial \Omega , \end{array}\right.}\end{aligned}$$ 其中（Omega \subset {\mathbb R}^N）是一个有界的光滑域，（2p=2^*=frac{2N}{N-2}\）是索博勒夫临界指数。当 \(N \ge 5\), for different ranges of \(\beta ,\lambda _{i},\mu _i,\theta _{i}\), \(i=1,2\), we obtain existence and nonxistence results of positive solutions via variational methods.Hajaiej 等人研究了 \(N=4 \) 的特殊情况（Positive solution for an elliptic system with critical exponent and logarithmic terms, arXiv:2304.13822, 2023）。请注意，对于（N＝5），临界指数由（2p÷in \left( 2,4\right) \）给出；而对于（N＝4），临界指数是（2p＝4）。在高维情况下，\(Nge 5\) 带来了新的困难，需要新的思路。此外，我们还研究了具有对数扰动的布雷齐斯-尼伦堡问题 $$\begin{aligned} -\Delta u=\lambda u+\mu |u|^{2p-2}u+\theta u \log u^2 \quad \text { in }\Omega , \end{aligned}$$ 其中 \(\mu >；0, \theta <0\) ,\(\lambda \in {\mathbb R}\) , 并在某些假设条件下得到正局部最小值和最小能量解的存在。