分解立方体和正方体的三维联合补集

Abstract Let \(\mathcal {C}\) be a set of n axis-aligned cubes of arbitrary sizes in \({\mathbb R}^3\) in general position.让（\mathcal {U}:=\mathcal {U}(\mathcal {C})）成为它们的联合，让（\kappa \）成为（\partial \mathcal {U}）上的顶点数；（\kappa \）可以在O(1)和（\Theta (n^2)）之间变化。我们将({mathop {textrm{cl}}({mathbb R}^3\setminus \mathcal {U}))划分为(O(\kappa \log ^4 n)\)个轴对齐的盒子，这些盒子的内部是成对的。如果预先计算好了（partial \mathcal {U}）的面，那么就可以在（O(n \log ^2 n + \kappa \log ^6 n）时间内计算出这些面。我们还证明了一个大小为 \(O(\sigma \log ^4 n + \kappa \log ^2 n)\) 的分区。如果预先计算了 \(\partial \mathcal {U}\) 的面，那么可以在 \(O(n \log ^2 n + \sigma \log ^8 n + \kappa \log ^6 n)\)时间内计算出一个分区，其中 \(\sigma \)是出现在 \(\partial \mathcal {U}\) 上的输入立方体的数量。如果 \(\mathcal {C}\) 中的所有立方体都是全等的，并且 \(\partial \mathcal {U}\) 的面都是预先计算的，那么复杂度和运行时间的边界就会提高到 （O(n\log n)\）。最后，我们证明如果 \(\mathcal {C}\) 是 \({\mathbb R}^3\) 中任意轴对齐盒的集合 、那么可以在(O((n^{3/2}+\kappa )\log n)\)的时间内将\({textrm{cl}}({mathbb R}^3\setminus \mathcal {U}))分割成\(O(n^{3/2}+\kappa )\)个盒子。其中，\(\kappa\)和上面一样，是\(\mathcal {U}(\mathcal {C})\) 中顶点的数量，现在可以在O((n^{3/2}+\kappa)\log n)之间变化。现在可以在 O(1) 和 （Theta (n^3)\) 之间变化。