通过 Cipolla-Lehmer-Müller 的平方根算法哈希到椭圆曲线

摘要 本文提供了一种新颖的哈希函数（{\mathcal {H}}），它可以在大特征的有限域\({\mathbb {F}}_{\!q}\) 上对任意 j-invariant \(\ne 0, 1728\) 的椭圆曲线进行哈希。对于大多数哈希函数来说，\({\mathcal {H}}\)的唯一瓶颈在于提取\({\mathbb {F}_{\!q}\) 中的平方根。然而，\({\mathcal {H}}\) 的设计方式使得根可以通过（Cipolla-Lehmer-）Müller 算法在恒定时间内找到。众所周知，违反这一安全条件是将给定算法应用于密码学的唯一障碍。当域 \({\mathbb {F}}_{\!q}\) 是高度 2-adic 且 \(q \equiv 1 \ (\textrm{mod} \ 3)\)因此，除了一些零星曲线外，新的批处理技术是最先进的散列解决方案。事实上，Müller 算法在 \({\mathbb {F}}_{\!q}\) 中花费了 \(\approx 2\log _2(q)\)乘法。反过来，最初的托内利-香克斯平方根算法及其随后的所有修改都具有代数复杂度（（varTheta (\log (q) + g(\nu ))\) 。其中 \(\nu \) 是 \({\mathbb {F}}_{\!q}\) 和函数 \(g(\nu ) \ne O(\nu )\) 的 2-adicity 。举例说明，在标准化曲线 NIST P-224 的域\({/mathbb {F}}_{\!q}\) （其 \(\nu = 96\) ）中，缪勒算法实际需要的乘法次数要少几倍。