A structure theorem for fundamental solutions of analytic multipliers in $${\mathbb {R}}^n$$

Pub Date : 2024-02-26 DOI:10.1007/s11868-024-00586-2

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Abstract

Using a version of Hironaka’s resolution of singularities for real-analytic functions, any elliptic multiplier $\text {Op}(p)$ of order $d>0$ , real-analytic near $p^{-1}(0)$ , has a fundamental solution $\mu _0$ . We give an integral representation of $\mu _0$ in terms of the resolutions supplied by Hironaka’s theorem. This $\mu _0$ is weakly approximated in $H^t_{\text {loc}}({\mathbb {R}}^n)$ for $t<d-\frac{n}{2}$ by a sequence from a Paley-Wiener space. In special cases of global symmetry, the obtained integral representation can be made fully explicit, and we use this to compute fundamental solutions for two non-polynomial symbols.

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$${mathbb {R}}^n$ 中解析乘数基本解的结构定理

摘要使用 Hironaka 的实解析函数奇点解析的一个版本，任何阶 $d>0$ 的椭圆乘法器 $text {Op}(p)$ ，在 $p^{-1}(0)$ 附近的实解析，有基本解 $\mu _0$ 。有一个基本解。我们根据 Hironaka 定理提供的决议给出了 $\mu _0$ 的积分表示。对于 $t<d-\frac{n}{2}$ 来说，这个 $\mu _0$ 在 $H^t_{\text {loc}}({\mathbb {R}}^n)$ 中被帕利-维纳空间的序列弱逼近。在全局对称的特殊情况下，所得到的积分表示可以是完全显式的，我们用它来计算两个非多项式符号的基本解。

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