A 型抛物线邻接作用的 nilfibre 的典型分量

摘要 本文是 [Y. Fittouhi 和 A. Joseph, Parabolic adjoint action, Weierstrass Sections and components in type A] 的继续。Fittouhi and A. Joseph, Parabolic adjoint action, Weierstrass Sections and components of the nilfibre in type A].设 P 是不可还原简单代数群 G 的抛物线子群。让 \(P'\) 是 P 的导出群，让 \({\mathfrak {m}}\) 是 P 的 nilradical 的李代数。理查森（Richardson）的一个定理意味着子代数 \({\mathbb {C}}[{\mathfrak {m}}]^{P'}\) ，由 \({\mathbb {C}}[{\mathfrak {m}}]\) 中的 P 半变量所跨，是多项式的。P'\)对\({\mathfrak {m}}\)的作用的一个线性子变量\(e+V\)被称为魏尔斯特拉斯截面、如果限制映射引起了 \({\mathbb {C}}[{\mathfrak {m}}]^{P'}\) 到 \({\mathbb {C}}[e+V]\) 的同构。因此，魏尔斯特拉斯截面只有在后者是多项式的情况下才会存在，但即使这一点成立，它的存在也远未得到保证。让 \({\mathscr {N}}\) 成为增强 \({\mathbb {C}}[{\mathfrak {m}}]^{P'}_+\) 的零点。相对于这个动作，它被称为无纤维。假设 \(G=\textrm{SL}(n,{\mathbb {C}})\)，并让 P 是一个抛物线子群。在[Y. Fittouhi and A. Joseph, loc. cit.]中，通过一个一般的组合构造证明了在\({mathfrak {m}\}) 中存在一个魏尔斯特拉斯截面\(e+V\)。值得注意的是\(e \in {\mathscr {N}}\) 是具有线性独立根的根向量之和。对于抛物线的不同选择，魏尔斯特拉斯截面（e+V）看起来非常不同，但它有统一的构造，并且在所有情况下都存在。它被称为 "典型魏尔斯特拉斯截面"。通过[Y. Fittouhi and A. Joseph, loc. cit. Prop. 6.9.2, Cor. 6.9.8]，\({\mathscr {N}}^e\) 总是存在一个包含 e 的 "规范 "部分 \({\mathscr {N}}^e\) 、Prop. 6.10.4] 中宣布，我们可以通过邻接根向量将 e 增为元素 \(e_textrm{VS}/)。那么这些根向量的线性跨度 \(E_textrm{VS}\) 位于 \(\mathscr {N}^e\) 中，它的闭包就是 \({\mathscr {N}}^e\) 。然而，同样的结果表明，\({\mathscr {N}^e\) 不一定要有密集的 P 轨道[Y. Fittouhi and A. Joseph, loc. cit., Lemma 6.10.7]。为此，我们需要[Y. Fittouhi and A. Joseph, loc. cit., Theorem 6.10.3]。然而，这个定理只在特例中得到了验证，这个特例表明 \({\mathscr {N}}^e\) 可能无法接纳密集的 P 轨道。这里给出了一般证明（定理 4.4.5）。最后，定义了一个从构成到不同非负整数集合的映射。它的图象被证明可以确定典范魏尔斯特拉斯截面。我们可以预料到 \({\mathscr {N}}\) 的其余成分也可以得到类似的描述。然而，这是一个很长的故事，将推迟到以后的论文中讨论。这些结果应该成为一般类型的模板。