Numerical solution of a boundary value problem for one-dimensional motion of a granular matter

Abstract

Сыпучий материал является одним из самых распространенных в природе. В последнее время большой интерес вызывают гранулированные материалы, такие как песок и порошки. Описать движение данного материала макроскопического размера является сложной задачей, поскольку он может вести себя как твердое тело, жидкость или газ. Разделение по размерам, формирование рисунка, лавины, уплотнение и конвекция – это лишь несколько примеров из широкого спектра наблюдаемых явлений, возникающих при движении сыпучих материалов. Поток лежит в основе большинства этих явлений и поэтому неудивительно, что было приложено множество усилий для того, чтобы прийти к гидродинамическому описанию, в которых гранулированные материалы рассматриваются в качестве сплошной среды. При исследовании движения сыпучей среды при вертикальном встряхивании в открытом контейнере было установлено, что экспериментальные и численные результаты объясняются с помощью теории гидродинамики. В работе рассматривается движение сыпучей среды при вертикальном встряхивании, для неглубокого слоя. Начальной точкой считаем состояние Leidenfrost, в котором сыпучая среда напоминает жидкость, нагретую снизу. Гидродинамическая модель близка по структуре системе уравнений вязкого газа с вязкостью, зависящей от плотности. В данной работе представлено численное исследование математической модели одномерного движения сыпучей среды. Особенностью модели о движении сыпучей среды является рассмотрение уравнений Навье–Стокса с учетом интерполяционной формы уравнения состояния VanderWaals для давления. На основе конечно-разностной аппроксимации предложена разностная схема для получения численного решения. Granular material is one of the most common natural materials. The materials such as sand and powder have attracted much interest of late. It is challenging to describe the motion of that kind of macroscopic size material, because it behaves like solid, liquid or gas. Size separation, pattern formation, avalanches, compaction, and convection are just a few examples of the wide array of observed phenomena that occurs the motion of the granular matter. Flow underlies of these phenomena and, therefore, no wonder that much effort has been devoted during the past few decades to arrive at a hydrodynamic description in which these materials are treated as a continuous medium. In the study of the granular material motion in an open vertically shaken container it was found that experimental and numerical results can be explained in terms of hydrodynamic theories. In this paper the motion of a granular medium for a shallow, vertically shaken bed is considered. The Leidenfrost state is assumed as initial and the granular matter resembles a fluid warmed up from below. The hydrodynamic model is similar to the viscous gas equations in which viscosity depends on density. This work presents a numerical study of a mathematical model of one-dimensional granular material motion. A feature of the model is the consideration of the Navier – Stokes equations with allowance for the interpolation form of the VanderWaals equation of state for pressure. The finite-difference approximation based scheme for numerical solution is proposed.