Sur les ensembles de rotation des homéomorphismes de surface en genre ≥ 2

IF 0.5 4区 数学 Q3 MATHEMATICS
Gabriel Lellouch
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Abstract

L’un des principaux invariants dynamiques associes a un homeomorphisme de surface isotope a l’identite est son ensemble de rotation, decrivant les vitesses et directions asymptotiques moyennes selon lesquelles les points “tournent” autour de la surface sous l’action de l’homeomorphisme. Sur le tore en particulier, de nombreux resultats relient la forme ou la taille de l’ensemble de rotation a des proprietes dynamiques de l’homeomorphisme. Cette these a pour but de generaliser au cas des surfaces de genre ≥ 2 un certain nombre de resultats connus sur le tore pour les homeomorphismes ayant un “gros” ensemble de rotation : positivite de l’entropie, realisation de vecteurs de rotation par des points periodiques, deviations bornees, etc. L’outil principal utilise est la theorie de forcage de Le Calvez et Tal, reposant sur la construction d’un feuilletage transverse et l’etude des trajectoires des points relativement a ce feuilletage. Les deux premiers chapitres presentent des resultats preliminaires a ce cadre general. Au chapitre 3, nous menons une etude globale sur les cycles asymptotiques de points dont les trajectoires ont des directions homologiques qui s’intersectent. Nous montrons que cette situation suffit a assurer la positivite de l’entropie, ce qui permet d’aboutir a la generalisation de deux resultats connus sur le tore, les theoremes de Llibre-Mackay et de Franks. Enfin, au chapitre 4, nous montrons a l’aide de ce dernier resultat qu’un homeomorphisme dont l’ensemble de rotation contient 0 dans son interieur est a deviation bornee, generalisant encore une propriete connue sur le tore. Nous terminons avec diverses consequences de ce resultat.
关于属≥2的曲面同构的旋转集
与同一性同位素表面同胚相关的主要动态不变量之一是它的旋转集,描述了在同胚作用下点围绕表面“旋转”的平均渐近速度和方向。特别是在环面上,许多结果将旋转集的形状或大小与同态的动力学性质联系起来。此次these意在generaliser面积≥2属以防tore若干已知结果上具有“胖”对于homeomorphismes套轮换:positivite熵,实现运载点旋转的期刊,deviations bornees等等。使用的主要工具是Le Calvez等人的强迫理论,基于横向分层的构造和与这种分层相关的点轨迹的研究。前两章给出了这一总体框架的初步结果。在第三章中,我们对轨迹具有同调方向相交的点的渐近环进行了全面的研究。我们证明了这种情况足以保证熵的正性,这使我们有可能推广关于环面的两个已知结果,即莱利-麦凯和弗兰克斯定理。最后,在第四章中,我们用最后的结果证明了一个自旋集包含0的同胚是一个有界偏差,进一步推广了环面上的一个已知性质。我们以这个结果的各种结果结束。
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期刊介绍: The Bulletin de la Société Mathématique de France was founded in 1873, and it has published works by some of the most prestigious mathematicians, including for example H. Poincaré, E. Borel, E. Cartan, A. Grothendieck and J. Leray. It continues to be a journal of the highest mathematical quality, using a rigorous refereeing process, as well as a discerning selection procedure. Its editorial board members have diverse specializations in mathematics, ensuring that articles in all areas of mathematics are considered. Promising work by young authors is encouraged.
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