Sur les ensembles de rotation des homéomorphismes de surface en genre ≥ 2

Abstract

L’un des principaux invariants dynamiques associes a un homeomorphisme de surface isotope a l’identite est son ensemble de rotation, decrivant les vitesses et directions asymptotiques moyennes selon lesquelles les points “tournent” autour de la surface sous l’action de l’homeomorphisme. Sur le tore en particulier, de nombreux resultats relient la forme ou la taille de l’ensemble de rotation a des proprietes dynamiques de l’homeomorphisme. Cette these a pour but de generaliser au cas des surfaces de genre ≥ 2 un certain nombre de resultats connus sur le tore pour les homeomorphismes ayant un “gros” ensemble de rotation : positivite de l’entropie, realisation de vecteurs de rotation par des points periodiques, deviations bornees, etc. L’outil principal utilise est la theorie de forcage de Le Calvez et Tal, reposant sur la construction d’un feuilletage transverse et l’etude des trajectoires des points relativement a ce feuilletage. Les deux premiers chapitres presentent des resultats preliminaires a ce cadre general. Au chapitre 3, nous menons une etude globale sur les cycles asymptotiques de points dont les trajectoires ont des directions homologiques qui s’intersectent. Nous montrons que cette situation suffit a assurer la positivite de l’entropie, ce qui permet d’aboutir a la generalisation de deux resultats connus sur le tore, les theoremes de Llibre-Mackay et de Franks. Enfin, au chapitre 4, nous montrons a l’aide de ce dernier resultat qu’un homeomorphisme dont l’ensemble de rotation contient 0 dans son interieur est a deviation bornee, generalisant encore une propriete connue sur le tore. Nous terminons avec diverses consequences de ce resultat.