Построение автомодельного решения системы уравнений газовой динамики, описывающей истечение политропного газа в вакуум с косой стенки в несогласованном случае

Abstract

Рассматривается начально-краевая задача для системы уравнений газовой динамики в постановке характеристической задачи Коши стандартного вида, описывающая при $t>0$ разлет политропного газа в вакуум на косой стенке в пространстве физических автомодельных переменных $\xi=x/t$, $\eta=y/t$, а при $t<0$ - сильное сжатие газа в призматическом объеме. Решение начально-краевой задачи строится в виде рядов функций $c( \xi, \vartheta )$, $u( \xi, \vartheta )$ и $v( \xi, \vartheta )$ по степеням $\vartheta$, где $\vartheta$ - известная функция независимых переменных. Нахождение неизвестных коэффициентов $c_1 ( \xi )$, $u_1( \xi )$ и $v_1( \xi )$ рядов функций $c( \xi, \vartheta )$, $u( \xi, \vartheta )$ и $v( \xi, \vartheta )$ сводится к решению транспортного уравнения для коэффициента $c_1( \xi )$. В настоящей работе построено аналитическое решение транспортного уравнения для коэффициента $c_1( \xi )$ решения системы уравнений газовой динамики, описывающего изэнтропическое истечение политропного газа с косой стенки, в общем несогласованном случае, когда $\operatorname{tg}^2 \alpha \ne (\gamma+1 )/ (3-\gamma)$. Когда $\gamma=5/3$ - случай водорода, для коэффициента $c_1( \xi ) $ впервые построено аналитическое решение транспортного уравнения в явном виде. Полученное решение применено к описанию сжатия специального призматического объема, представляющего собой в сечении правильный треугольник. Указана особенность полученного решения $c_1(\xi)$: значение $ c_1 \to \infty $ при $ \xi \to \xi_* $, где значение $\xi_*$ задается уравнением $c_0(\xi_*)=3.9564$. Сделан вывод, что на звуковой характеристике, через которую стыкуются течения вида центрированная и двойная волна, в точке с координатами $\xi=\xi_*$ и $\vartheta =0$ наступает градиентная катастрофа, что приводит к возникновению в безударном течении сильного разрыва и формированию ударной волны.