Stochastic ordering results on the duration of the gambler’s ruin game

Abstract

Abstract In the classical gambler’s ruin problem, the gambler plays an adversary with initial capitals z and $a-z$ , respectively, where $a>0$ and $0< z < a$ are integers. At each round, the gambler wins or loses a dollar with probabilities p and $1-p$ . The game continues until one of the two players is ruined. For even a and $0

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赌徒破产博弈持续时间的随机排序结果

在经典的赌徒破产问题中，赌徒的对手分别以大写字母z和$a-z$开头，其中$a>0$和$0< z < a$是整数。在每一轮中，赌徒以p和$1-p$的概率赢或输一美元。游戏继续进行，直到两个玩家中的一个被毁。对于偶数a和$0<z\leq {a}/{2}$，以$p \in [0,{\frac{1}{2}}]$为索引的游戏持续时间(总回合数)的分布族显示为单调(增加)似然比，而对于${a}/{2} \leq z<a$，以$p \in [{\frac{1}{2}}, 1]$为索引的持续时间的分布族具有单调(减少)似然比。特别是，对于$z={a}/{2}$，就似然比顺序而言，持续时间的分布通过$p={\frac{1}{2}}$在$p \in [0,1]$上最大化。奇数a的情况也考虑通常的随机顺序。此外，作为极限，简要讨论了布朗运动的第一退出时间。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。