On the Metric Dimension of Circulant Graphs

IF 0.5 4区数学 Q3 MATHEMATICS

Canadian Mathematical Bulletin-Bulletin Canadien De Mathematiques Pub Date : 2023-09-28 DOI:10.4153/s0008439523000759

Rui Gao, Yingqing Xiao, Zhanqi Zhang

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Abstract

Abstract In this note, we bound the metric dimension of the circulant graphs $C_n(1,2,\ldots ,t)$ . We shall prove that if $n=2tk+t$ and if t is odd, then $\dim (C_n(1,2,\ldots ,t))=t+1$ , which confirms Conjecture 4.1.1 in Chau and Gosselin (2017, Opuscula Mathematica 37, 509–534). In Vetrík (2017, Canadian Mathematical Bulletin 60, 206–216; 2020, Discussiones Mathematicae. Graph Theory 40, 67–76), the author has shown that $\dim (C_n(1,2,\ldots ,t))\leq t+\left \lceil \frac {p}{2}\right \rceil $ for $n=2tk+t+p$ , where $t\geq 4$ is even, $1\leq p\leq t+1$ , and $k\geq 1$ . Inspired by his work, we show that $\dim (C_n(1,2,\ldots ,t))\leq t+\left \lfloor \frac {p}{2}\right \rfloor $ for $n=2tk+t+p$ , where $t\geq 5$ is odd, $2\leq p\leq t+1$ , and $k\geq 2$ .

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关于循环图的度量维数

摘要本文对循环图$C_n(1,2,\ldots ,t)$的度量维数进行了定界。我们将证明，如果$n=2tk+t$和如果t是奇数，则$\dim (C_n(1,2,\ldots ,t))=t+1$，这证实了Chau和Gosselin (2017, Mathematica 37, 509-534)的猜想4.1.1。见Vetrík(2017，加拿大数学通报60,206-216;2020，《数学讨论》。图论40,67-76)，作者已经证明$\dim (C_n(1,2,\ldots ,t))\leq t+\left \lceil \frac {p}{2}\right \rceil $对于$n=2tk+t+p$，其中$t\geq 4$是偶数，$1\leq p\leq t+1$，和$k\geq 1$。受他的工作启发，我们展示了$\dim (C_n(1,2,\ldots ,t))\leq t+\left \lfloor \frac {p}{2}\right \rfloor $代表$n=2tk+t+p$，其中$t\geq 5$是奇数，$2\leq p\leq t+1$和$k\geq 2$。

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期刊介绍： The Canadian Mathematical Bulletin was established in 1958 to publish original, high-quality research papers in all branches of mathematics and to accommodate the growing demand for shorter research papers. The Bulletin is a companion publication to the Canadian Journal of Mathematics that publishes longer papers. New research papers are published continuously online and collated into print issues four times each year. To be submitted to the Bulletin, papers should be at most 18 pages long and may be written in English or in French. Longer papers should be submitted to the Canadian Journal of Mathematics. Fondé en 1958, le Bulletin canadien de mathématiques (BCM) publie des articles d’avant-garde et de grande qualité dans toutes les branches des mathématiques, de même que pour répondre à la demande croissante d’articles scientifiques plus brefs. Le BCM se veut une publication complémentaire au Journal canadien de mathématiques, qui publie de longs articles. En ligne, il propose constamment de nouveaux articles de recherche, puis les réunit dans des numéros imprimés quatre fois par année. Les textes présentés au BCM doivent compter au plus 18 pages et être rédigés en anglais ou en français. C’est le Journal canadien de mathématiques qui reçoit les articles plus longs.