Weyl asymptotics for fractional-order Dirichlet realizations in nonsmooth cases

Abstract

Let $P$ be a symmetric $2a$-order classical strongly elliptic pseudodifferential operator with \emph{even} symbol $p(x,\xi)$ on $\mathbb{R}^n $ ($0

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非光滑情况下分数阶Dirichlet实现的Weyl渐近性

设$P$为一个对称的$2a$阶经典强椭圆伪微分算子，在$\mathbb{R}^n $ ($0<a<1$)上具有\emph{偶数}符号$p(x,\xi)$，例如$(-\Delta )^a$的扰动。设$\Omega \subset \mathbb{R}^n$有界，设$P_D$为$\mathbb{R}^n\setminus\Omega$中在外部条件$u=0$下定义的$L_2(\Omega)$中的狄利克雷实现。当$p(x,\xi)$和$\Omega$为$C^\infty $时，已知特征值$\lambda_j$(对$j\to \infty$按非递减序列排序)满足Weyl渐近公式\begin{equation*} \lambda _j(P_{D})=C(P,\Omega )j^{2a/n}+o(j^{2a/n}) \text {for $j\to \infty $}, \end{equation*}，其中$C(P,\Omega)$由$P$的主符号确定。我们现在证明了这个结果对更一般的算子是有效的，它们可能具有非光滑的$x$依赖，在Lipschitz域中，并且它扩展到$\tilde P=P+P'+P”$，其中$P'$是一个具有一定映射属性的$<\min\{2a, a+\frac 12\}$阶算子，并且$P”$在$L_2(\Omega )$(例如$P”=V(x)\in L_\infty(\Omega)$)中有界。并讨论了$P_D$的特征函数的正则性。

本文章由计算机程序翻译，如有差异，请以英文原文为准。