Lidstone interpolation III. Several variables

Abstract

A polynomial in a single variable is uniquely determined by its derivatives of even order at 0 and 1. More precisely, such an univariate polynomial can be written and a finite sum of f ( 2 n ) ( 0 ) Λ n ( 1 − z ) f^{(2n)}(0) \Lambda _n(1-z) and f ( 2 n ) ( 1 ) Λ n ( z ) f^{(2n)}(1) \Lambda _n(z) , ( n ≥ 0 n\ge 0 ), where the Λ n ( z ) \Lambda _n(z) are the Lidstone polynomials defined by the conditions ( d d z ) 2 k Λ n ( 0 ) = 0  and  ( d d z ) 2 k Λ n ( 1 ) = δ k , n , k ≥ 0 , n ≥ 0. \begin{equation*} \left (\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}z}\right )^{2k} \Lambda _n(0)=0\text { and } \left (\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}z}\right )^{2k} \Lambda _n(1)=\delta _{k,n},\quad k\ge 0, \; n\ge 0. \end{equation*} We generalize this theory to n n variables, replacing the two points 0 0 , 1 1 in C \mathbb {C} with n + 1 n+1 points e _ 0 , e _ 1 , … , e _ n {\underline {e}}_0,{\underline {e}}_1,\dots ,{\underline {e}}_n in

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Lidstone插值法几个变量

单变量多项式唯一地由它在0和1处的偶阶导数决定。更准确地说，这样的单变量多项式可以写成f (2n)(0) Λ n(1-z) f^{(2n)(0)}\Lambda ＿n(1-z)和f (2n)(1) Λ n(z) f^{(2n)}(1) \Lambda ＿n(z)，(n≥0 n \ge 0)，其中Λ n(z) \Lambda ＿n(z)是由条件(d d z) 2k Λ n(0) = 0和(D D z) 2k Λ n (1) = δ k, n, k≥0,n≥0。\begin{equation*} \left (\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}z}\right )^{2k} \Lambda _n(0)=0\text { and } \left (\frac {\mathrm {d}}{\mathrm {d}z}\right )^{2k} \Lambda _n(1)=\delta _{k,n},\quad k\ge 0, \; n\ge 0. \end{equation*}我们把这个理论推广到n n个变量，用n+1个+1个点e _ 0, e _ 1，…代替C \mathbb中的两个点0 0,1 1，e＿n e＿0{, }e＿1{\underline, {}}{\underline{}}\dots, e＿n {\underlinein {

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Transactions of the American Mathematical Society, Series B

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