Chapitre V

Abstract

There is scarcely any question in dynamics more important for Natural Philosophy than the stability or instability of motion. Les objets n'existent que pour autant ils présentent des propriétés de stabilité. Le phénomène universel de la mise en place de la stabilité est encore mal compris. De manière un peu schématique et dans le monde physique, la stabilité se présente sous deux formes, l'une absolue, l'autre relative. L'invariabilité caractérise la forme absolue de la stabilité. Elle a, de tout temps, été prise en considération. Dans le monde physique, elle s'exprime à travers l'énoncé de lois universelles, de principes de conservation. Dans le monde symbolique, notamment des mathématiques, elle se traduit d'abord par la recherche et par la mise en exergue d'invariants divers, associés à des énoncés partout ou presque partout vrais. La stabilité au sens ordinaire est la forme relative de cette notion. Elle intéresse l'humanité à travers entre autres l'avenir du système solaire, sur lequel les chercheurs ont commencé à se pencher au dix-huitième siècle. Les progrès de l'astronomie et dans la recherche des causes des mouvements conduisent à effacer de l'esprit la croyance en un monde rigide, fixe, immuable. Dans ce cadre, Lagrange entreprend le premier un examen assez général des conditions analytiques de stabilité. Ces conditions seront pleinement développées par Liapounoff à la fin du dix-neuvième siècle, et raffinées par la suite, surtout après les apports de Poincaré. Si, au départ, on traite de la stabilité de position, celle des points singuliers, des points d'équilibre, on en vient rapidement à examiner la stabilité de trajectoires et d'ensembles de trajectoires, d'objets formels : s'introduit alors de manière naturelle, en 1937, la notion de stabilité structurelle. L'étude de la stabilité relative dans le monde symbolique des mathématiques se développe également à la fin du dix-neuvième siècle, lorsque apparaissent des propriétés qui ne sont que presque partout vraies. Ce chemin de la pensée conduit à la définition récente de la notion de prévalence. La présence de symétries est l'une des manifestations extérieures de la stabilité, parmi les plus visibles. Chaque objet possède des jeux de symétrie interne plus ou moins extériorisés. Les transformations qui respectent des symétries forment des ensembles auxquels on a donné le nom de groupes. Ces groupes sont différents selon le régime de symétries qu'ils représentent. Passer d'un groupe à un autre, par bifurcation selon les uns, par brisure de symétrie selon les autres, peut refléter un …