О моментах достижения высоких уровней случайным блужданием в случайной среде

Abstract

Пусть задана последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов $(p_i,q_i)$, $i\in \mathbf{Z}$, причем п.н. $p_i,q_i>0$ и $p_i+q_i$ $=1$ при $i\in \mathbf{Z}$. Рассматривается случайное блуждание в случайной среде $\{(p_i,q_i), i\in \mathbf{Z}\}$. Предполагается, что $\mathbf{E}\ln (p_0/q_0)=0$ и $0<\mathbf{E}\ln^{2}(q_0/p_0)<+\infty$. Изучаются моменты $T_{n_1},…,T_{n_m}$ достижения возрастающих уровней $n_1,…,n_m$, имеющих порядок $n$. Установлено, что несущее вероятностное пространство можно разбить на такие случайные события (зависящие от $n$), что их вероятности при больших $n$ близки к положительным числам и на каждом из этих событий множество моментов $T_{n_1},…,T_{n_m}$ разбивается на последовательные группы, причем в каждой из групп их элементы имеют одинаковый порядок, а все элементы каждой группы пренебрежимо малы по сравнению со всеми элементами следующей группы.