Heat kernel of supercritical nonlocal operators with unbounded drifts

Abstract

— Let α ∈ (0, 2) and d ∈ N. Consider the following stochastic differential equation (SDE) in Rd: dXt = b(t,Xt) dt+ a(t,Xt−) dL (α) t , X0 = x, where L(α) is a d-dimensional rotationally invariant α-stable process, b : R+ × Rd → Rd and a : R+ × Rd → Rd ⊗ Rd are Hölder continuous functions in space, with respective order β, γ ∈ (0, 1) such that (β ∧ γ) + α > 1, uniformly in t. Here b may be unbounded. When a is bounded and uniformly elliptic, we show that the unique solution Xt(x) of the above SDE admits a continuous density, which enjoys sharp two-sided estimates. We also establish sharp upper-bound for the logarithmic derivative. In particular, we cover the whole supercritical range α ∈ (0, 1). Our proof is based on ad hoc parametrix expansions and probabilistic techniques. Résumé (Noyau de la chaleur pour des EDS surcritiques à dérive non bornée) Soit α ∈ (0, 2) et d ∈ N. Considérons l’équation différentielle stochastique (EDS) suivante dans Rd : dXt = b(t,Xt) dt+ a(t,Xt−) dL (α) t , X0 = x, où L(α) est un processus α-stable isotrope de dimension d, b : R+×R → Rd et a : R+×R → Rd⊗Rd sont des fonctions Hölder continues en espace, d’indices respectifs β, γ ∈ (0, 1) tels que (β∧γ)+α > 1, uniformément en t. En particulier b peut être non bornée. Lorsque a est bornée et uniformément elliptique, nous montrons que la solution Xt(x) de l’EDS admet une densité continue, que l’on peut encadrer, à constante multiplicative près, par une même quantité. Nous obtenons également une borne supérieure précise pour la dérivée logarithmique de la densité. En particulier, nous traitons complètement le régime surcritique α ∈ (0, 1). Notre approche se base sur des développements parametrix ad hoc et des techniques probabilistes.