Hesitações na aritmética de Frege

Abstract

Em 1884, Gottlob Frege fecha a introdução d’Os Fundamentos da Aritmética com a formulação de três princípios fundamentais: (1) É necessário separar com nitidez o que é psicológico do que é lógico, o que é objetivo do que é subjetivo. (2) Só se pode perguntar pela denotação de uma palavra no contexto de uma proposição e não considerando-a isoladamente. (3) Deve manter-se sempre presente a distinção entre conceito e objeto. Estas três injunções metodológicas estão na base do programa logicista de Frege de redução da aritmética à lógica. Estão mesmo na base do surgimento da filosofia analítica. O volume d’Os Fundamentos da Aritmética é hoje considerado uma obra-prima da filosofia. Contém, numa primeira parte, críticas às opiniões de filósofos e matemáticos da época acerca da noção de número e termina com a exposição duma nova tese para a fundamentação da aritmética. Não obstante, esta é uma obra essencialmente programática e pouco amadurecida. O próprio Frege afirma n’Os Fundamentos da Aritmética que não fez nada “mais do que ter tornado verosímil a natureza analítica das proposições aritméticas” e adianta que dúvidas quanto à natureza puramente lógica dos raciocínios expostos apenas podem ser dissipadas “por meio de uma apresentação de uma cadeia dedutiva sem lacunas”. O magnum opus de Frege são os dois tomos das Grundgesetze der Arithmetik (Leis Fundamentais da Aritmética), publicados com um intervalo de dez anos, em 1893 e 1903. Nesta obra, Frege leva a cabo o programa logicista nos termos com os quais se achava comprometido, i.e., por meio de deduções estritamente formais. Para o fazer, Frege socorre-se do seu anterior trabalho Begriffsschrift (Notação Conceptual) de 1879. Na nossa opinião, a grandeza imorredoura de Frege encontra-se precisamente nesta obra precoce. De uma assentada, Frege faz nesta obra duas contribuições geniais. Em primeiro lugar, inventa uma linguagem formal para a quantificação, em que os quantificadores podem aparecer encadeados. Depois, oferece-nos um cálculo formal para efetuar deduções nesta linguagem (o cálculo de predicados). É bem certo que se pode pôr em causa a importância que Frege dá a formalizar completamente os raciocínios da sua dedução lógica da aritmética. Hoje em dia, muitos argumentarão que isso não é essencial e que, de facto, é a própria informalidade d’Os Fundamentos da Aritmética que a torna uma obra acessível, conhecida e lida. Também eu partilho desta opinião. Porém, não se deve passar em claro as enormes consequências involuntárias que a opção fregiana teve. As linguagens de programação são linguagens formais e podem ser consideradas herdeiras afastadas da visão fregiana. Mais próximo das preocupações de Frege, o Begriffsschrift é o primeiro sistema formal dedutivo depois do cálculo silogístico aristotélico, ultrapassando-o vastamente em poder expressivo. Com