Unsteady bending of a cantilevered Euler-Bernoulli beam with diffusion

Abstract

Рассматривается нестационарная задача изгиба консольно-закрепленной упруго-диффузионной однородной изотропной балки Бернулли–Эйлера. Математическая постановка представляет собой замкнутую систему уравнений поперечных нестационарных колебаний балки с учетом диффузии. Разрешающая система уравнений изгиба балки получена из общей модели упругой диффузии в сплошной среде с помощью вариационного принципа Даламбера. При этом предполагается, что прогибы балки являются малыми и выполняется гипотеза плоских сечений. Повороты сечений удовлетворяют гипотезе Бернулли–Эйлера. Решение ищется методом эквивалентных граничных условий, который позволяет перейти от исходной формулировки с произвольными граничными условиями к задаче того же вида, с той же геометрией области, но с заведомо достижимым решением. В данной работе в качестве вспомогательной выступает такая задача, решение которой находится путем интегрального преобразования Лапласа по времени и разложением в тригонометрические ряды Фурье. Далее строятся соотношения, связывающие правые части граничных условий исходной и вспомогательной задач. Они являются интегральными уравнениями Вольтерра 1-го рода и образуют систему, которая разрешается численно с использованием квадратурных формул средних прямоугольников. В итоге решение исходной задачи представляется в виде сверток функций Грина вспомогательной задачи с функциями, определяемыми из решения системы интегральных уравнений Вольтерра. На примере двухкомпонентного материала выполнено численное исследование взаимодействия нестационарных полей – механического и диффузионного, в изотропной балке. Результаты вычислений представлены в виде графиков зависимости искомых полей перемещений балки и приращений концентраций компонентов среды от времени и координат. Исходя из их анализа сделан вывод о влиянии связанности механодиффузионных полей на напряженно-деформированное состояние и массоперенос в балке.