Géométrie affine et euclidienne

Abstract

Ce dossier est consacre a la presentation des bases des geometries affine et euclidienne. Dans ce but, nous evoquerons tout d'abord la geometrie vectorielle. Comme l'indique son nom, les elements de base de la geometrie vectorielle sont les vecteurs, auxquels une structure est imposee par la notion d'espace vectoriel. Le concept de point, bien utile pour de nombreuses applications, est inconnu en geometrie vectorielle. Il necessite des notions supplementaires et constitue le fondement de la geometrie affine. L'espace affine lui fournit une structure qui associe vecteurs et points, permettant de les manipuler ensemble. Toutefois la geometrie affine ne donne pas les outils necessaires pour mesurer les distances ou les angles. Cela deviendra possible en passant a la geometrie euclidienne. L'espace euclidien, un espace affine particulier, permettra, sur la base de la notion du produit scalaire, de mesurer des distances entre deux points ainsi que des angles entre deux droites. Suivant Felix Klein qui, dans son programme d'Erlangen, a identifie « la geometrie » avec « la theorie des invariants d'un groupe de transformation », nous evoquerons les invariants des geometries affine et euclidienne. Vu leur importance dans les applications, nous traiterons en particulier les classifications affines et euclidiennes des coniques dans le plan et des quadriques dans l'espace tridimensionnel.