Алгоритм синтезу незвідних поліномів лінійної складності

Abstract

Незвідні поліноми знаходять широке застосування в різноманітних областях науки і техніки. Незважаючи на велику затребуваність синтез незвідних поліномів до теперішнього часу є досить складне завдання і, як зазначено В. Жельніковим, «знаходження незвідних поліномів досі покрито мороком. Криптографічні служби високорозвинених країн працювали і працюють над пошуком многочленів якомога більш високого ступеня, але свої результати вони майже не висвітлюють у відкритій пресі». Відомі алгоритми синтезу незвідних поліномів мають суттєвий недолік, який полягає в тому, що їх обчислювальна складність є, як правило, квадратичною. Отже, побудова поліномів великих ступенів може бути реалізовано лише на обчислювальних комплексах високої продуктивності. Запропонований алгоритм спирається на так звані реперні сітки (сходи), число сходинок в яких збігається зі ступенем синтезованих поліномів. На кожній сходинці здійснюються найпростіші рекурентні однотипні модулярні обчислення, по завершенні яких поліном, що тестується, однозначно класифікується або як незвідний, або як складовий. Розроблений алгоритм відноситься до підкласу алгоритмів лінійної складності. Суть рекурентних операцій на множені двійкових поліномів зводиться до обчислення залишків за модулем тестуємого на незвідність поліному, представленого в векторній формі (набором бінарних коефіцієнтів поліному), від квадрата залишку, утвореного на попередній сходинці перетворення і доповненого справа нулем. Якщо верхня (порогова) ступінь синтезованих незвідних поліномів не велика, наприклад, не перевищує двох десятків, то формування множені поліномів, що тестуються, може здійснюватися за методом повного перебору. У тому випадку, коли ступінь поліному перевищує порогове значення, то генерацію поліномів зручніше реалізовувати статистичним моделюванням. В роботі коротко позначений алгоритм синтезу незвідних поліномів над простим полем Галуа характеристики