O TEOREMA ESPECTRAL E SUAS MISTERIOSAS RELAÇÕES COM O TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO PRIMÁRIA

Abstract

É notório que uma parte considerável da Álgebra Linear, enquanto teoria, dedicase ao estudo dos operadores lineares, isto é, das transformações lineares T : V → V, em que V é um espaço vetorial arbitrário. (Aqui, nos restringiremos aos de dimensão finita.) É também estabelecido que a abordagem mais natural aos operadores lineares dá-se por meio de decomposições desses em “suboperadores”, o que corresponde a um processo de diagonalização em blocos das matrizes que os representam. Mais especificamente, a cada operador linear T definido num espaço vetorial real V de dimensão n ∈ N, como se sabe, está associada uma família de matrizes reais n × n, em que cada uma delas representa T com respeito a alguma base de V. Uma decomposição de T , então, é um processo que visa determinar, nessa família, a matriz mais simples possível, sendo o caso ótimo aquele em que essa matriz é diagonal. Nessa ocorrência, diz-se que o operador T é diagonalizável. A simplicidade das matrizes diagonais, inclusive do ponto de vista operacional, concede aos operadores diagonalizáveis um status de excelência, fato que torna o resultado seguinte um dos mais notáveis da Álgebra Linear.