Mathematical modeling of physical processes in metal crystal lattices

Abstract

Аннотация. Колебания кристаллических решеток определяют такие важные свойства материалов, как теплопроводность, теплоемкость, тепловое расширение и многие другие, поэтому их изучение является актуальной и важной задачей. Наряду с экспериментальными методами изучения нелинейной динамики кристаллической решетки широко используются эффективные методы компьютерного моделирования, такие как первопринципное моделирование и метод молекулярной динамики. Реже используется метод математического моделирования, так как погрешность расчетов при его применении может достигать 10%. Вместе с тем он являетсянаименее затратным в вычислительном плане. В настоящей работе представлен процесс и описаны результаты математического моделирования физических процессов в металлах и упорядоченных сплавах при помощи потенциала Леннарда-Джонса в пакете программ MatLab, хорошо зарекомендовавшего себя для решения задач технических вычислений. В теоретической части описаны кристаллические решетки, дифференциальные уравнения движения для моделирования,их начальные и граничные условия, а также разностная аппроксимация. В качестве метода моделирования выбран принцип молекулярно-динамического моделирования при помощи одного из парных потенциалов. В практической части представлены вычислительный алгоритм, линеаризация числа операций, термодинамические расчеты, описаны скоростная схема Верле и потенциал межатомного взаимодействия, а также приведена поэтапная разработка модели в среде моделирования. Получены следующие результаты: построен график трехмерного распределения атомов по расчетной ячейке, доказывающий возможность перемещения до пяти межатомных расстояний; произведена оценка амплитудно-частотной характеристики методом Уэлча с относительной среднеквадратической ошибкой, не превышающей 30%; получена графическая зависимость энергий связи между настоящей моделью и стандартными данными для ячейки ГПУ металла с погрешностью немногим более 3%; произведено вычисление оптимальной модели для кусочно-линейной аппроксимации, и построена её трехмерная интерполяция. Все проведенные исследования показывают хорошую степень применимости математического моделирования к задачам изучения динамических процессов в физике кристаллов.