Analyse combinatoire approfondie

Abstract

La notion de partition d’ensemble est exactement celle de relation d’equivalence, bien connue de tous. Ici, dans le cas d’un ensemble N fini a n elements, le nombre des partitions de N en k blocs (parties non vides), ou, si l’on prefere le nombre de relations d’equivalence a k classes sur N, note S(n,k), n’est autre que le celebre nombre de Stirling de seconde espece . Ces nombres S(n,k) interviennent d’ailleurs un peu partout, en algebre, en analyse, en probabilites, en statistique... Il en sera fait ici une etude particulierement detaillee. La notion de partition d’un entier n est de nature plus theorique. C’est, si l’on peut dire, une gigantesque generalisation du fameux probleme de l’echange de monnaie : de combien de manieres peut-on realiser un montant de n francs avec des pieces de 1, 2 et 5 francs ? Sans les series entieres, on n’arriverait a rien, comme Euler l’a montre. Cette theorie, dans sa generalite, touche au moins autant a l’arithmetique qu’a la combinatoire, dernier aspect qui sera seul ici retenu. Pour terminer, la notion de permutation (d’un ensemble fini) est reprise avec force details, et donne l’occasion d’introduire des nombres combinatoirement aussi fondamentaux que les nombres de Stirling de premiere espece s(n,k), les nombres euleriens A(n,k) qui comptent les permutations de par montees , les nombres tangents a 2n+1 , coefficients de Taylor du developpement en serie entiere de : qui comptent les permutations alternantes de , etc. Le sujet « Analyse combinatoire » fait l’objet de plusieurs articles : [AF 200] « Analyse combinatoire elementaire » ; [AF 201] « Analyse combinatoire avancee » ; [AF 202] « Analyse combinatoire approfondie ». Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres articles. Le lecteur pourra utilement se reporter aux references bibliographiques des articles [AF 200] et [AF 201]