1 Les ondes gravitationnelles. Une nouvelle fenêtre sur l’Univers

Abstract

Gravitational Waves, a new Window on Universe The present chapter in this book is the first of three devoted to gravitational waves. It presents some elements of the existing state of art, when the first direct detection of gravitational waves was announced on february 11, 2016: nature and properties of gravitational waves; equations of propagation and generation of waves according to the validity conditions of the linear approximation (linearized Einstein’s equations); diversity of astrophysical sources and their related gravitational signals. After a reminder of the implemented principles of detection within detectors like VIRGO and LIGO, he draws a table of the improvement of the signal noise ratio, and the course of sensibility, having led to the nowadays operational performances. Ce chapitre reprend, dans son contenu, la première partie de l’exposé effectué par Patrice Hello le Jeudi 11 février 2016 dans l’après midi. Cet exposé a en effet été volontairement interrompu par l’annonce de la première détection directe des ondes gravitationnelles, annonce faite depuis les Etats-Unis par l’équipe LIGO ce même après-midi à 16 h 30. Il s’agissait en effet de donner toute sa place à cette annonce, qui ouvrait une nouvelle ère dans l’Astronomie observationnelle. Sont ici présentés successivement, en trois grandes sections : 1. Un rappel de la nature et des propriétés des ondes gravitationnelles, en les situant dans le cadre de la théorie par laquelle leur existence a été prévue, savoir la Relativité Générale, et en se limitant à l’approximation linéaire des équations d’Einstein. 2. Un aperçu des sources génératrices d’ondes gravitationnelles et des formes de signaux, dans leur diversité. 3. Un tableau des techniques de détection, telles qu’elles sont utilisées dans des détecteurs comme VIRGO ou LIGO, et de la « course à la sensibilité », c’est à dire à la réduction des bruits de fond, auxquelles la mise en œuvre pratique de ces techniques a procédé. 1. Nature et propriétés des ondes gravitationnelles Les ondes gravitationnelles sont une perturbation de la métrique de l’Espace-Temps. Elles sont engendrées par des mouvements de masses, en analogie avec les ondes électromagnétiques qui sont produites par des mouvements de charge. De par cette nature, elles relèvent d’emblée de la théorie de la Relativité Générale et leur existence a été prédite par Einstein dès 1916. Après un bref préambule concernant la notion de métrique, nous montrons dans cette section comment les équations contrôlant les ondes gravitationnelles se déduisent des équations fondamentales de la Relativité générale ; nous allons vérifier qu’il s’agit bien d’équations d’ondes, énoncer quelques propriétés de ces ondes et en décrire les effets sur la matière. RELATIVITÉ, ONDES DE L’UNIVERS 47 ONDES MATIÈRE ET UNIVERS RELATIVITÉ GÉNÉRALE, PHYSIQUE QUANTIQUE ET APPLICATIONS 1.1 Rappel : la notion de métrique La métrique, dans le présent contexte, est une propriété de l’Espace-Temps en chacun de ses points, c’est à dire en chacun de ses évènements1. C’est une propriété intrinsèque car associée à des quantités conservant la même valeur, quelque soit le référentiel de coordonnées choisi. L’emploi du terme de tenseur marque ce caractère intrinsèque, de propriété indépendante des référentiels utilisés. Dans un référentiel donné, le tenseur métrique lié à un certain évènement prend la forme concrète d’un tableau de 16 nombres ou composantes, positionnées sur quatre lignes et quatre colonnes, d’où la notation gμν, les valeurs (0, 1, 2, 3) des indices μ et ν désignant respectivement les lignes et les colonnes du tableau. Dans les référentiels considérés dans cet article, la valeur 0 des indices sera toujours associée à la direction temporelle, et les valeurs 1, 2, 3 aux trois directions spatiales2 ; des formules précises indiquent comment se transforment les composantes lorsqu’on change de référentiel. Bien entendu, dans un univers non homogène, la valeur multidimensionnelle du tenseur, et donc celles des composantes du tableau qui représente cette valeur dans un référentiel donné, varie d’un évènement à l’autre. On parle de champ tensoriel, en l’occurrence du champ tensoriel métrique ; mais en pratique le terme de tenseur, dans les équations, est souvent employé pour désigner le champ tensoriel correspondant. Notons que le tenseur métrique est symétrique : il n’y a en fait que dix (et non seize) composantes indépendantes. Les quantités associées au tenseur métrique invariantes lorsque l’on change de système de coordonnées sont les « longueurs » des « trajectoires » entre deux évènements ; les guillemets marquent ici l’inadaptation du vocabulaire courant pour intégrer le temps comme quatrième dimension3. Sans s’étendre, disons que de telles longueurs comportent une composante spatiale une distance et une composante temporelle une durée qui séparément n’ont pas de valeurs indépendantes du système choisi ; et qu’elles se calculent par une intégrale mobilisant les valeurs du tenseur métrique le long de la trajectoire étudiée. 1.2 Les équations d’Einstein Les équations d’Einstein sont les fondations de la Relativité Générale. Elles établissent une relation entre le contenu matériel (masses et énergie) de l’Univers d’une part et sa géométrie (géométrie d’un espace à quatre dimensions, l’Espace-Temps) : comme l’a dit le physicien américain John Wheeler, la matière dit à l’Espace-Temps comment se courber, l’Espace-Temps courbé dit à la matière comment se déplacer. La gravitation n’est plus une force : c’est juste la déformation géométrique que le contenu matériel impose à l’Espace-Temps par le biais de ces équations. (1) L’emploi du terme d’évènement, outre qu’il est conforme à la nature de ces points, évite d’avoir à répéter « points de l’Espace-Temps ». (2) Dans un tel référentiel, la première des quatre coordonnées x0, x1, x2, x3 d’un évènement x, soit donc x0, s’interprétera comme ct, où, dans les unités de longueurs et de temps choisies, c est la vitesse de la lumière, et t la référence temporelle de l’évènement sur l’horloge de l’observateur. (3) A la place de « trajectoires », on parlera plutôt de segments de « lignes d’univers » joignant les deux évènements. 48 LES ONDES GRAVITATIONNELLES, UNE NOUVELLE FENÊTRE SUR L’UNIVERS P. HELLO Une fois adoptées les conventions de représentation mathématique des notions géométriques et physiques en jeu tenseurs de courbure, tenseur métrique, tenseur énergie -impulsion, l’expression des équations d’Einstein prend une forme très compacte4 : Gμν = 8πG c4 Tμν , où Gμν ≡ Rμν − 1 2 Rgμν (1) Ces équations relient des champs tensoriels : elles formalisent les contraintes de proportionnalité qui s’imposent en chaque évènement, entre la valeur du tenseur d’Einstein Gμν , résumant les structures géométriques présentes sur cet évènement, et la valeur du tenseur énergie-impulsion, Tμν, résumant les propriétés de la matière et de l’énergie présentes en ce même évènement. Les tenseurs impliqués dans la définition du tenseur d’Einstein, soit Rμν , tenseur de courbure dit « de Ricci » et R, coefficient appelé courbure scalaire, sont tous calculables à partir du champ tensoriel métrique, c’est-à-dire à partir des valeurs du tenseur gμν et de la manière dont ces valeurs varient d’un évènement à l’autre (concrètement, dans un référentiel donné, composantes et dérivées partielles premières et secondes des composantes). 1.3 Des équations d’Einstein à celles des ondes gravitationnelles La nature des ondes gravitationnelles est d’être des perturbations de la métrique de l’EspaceTemps. Le terme de perturbation implique a priori qu’elles soient de légères modifications d’une métrique de référence, qui est, telle que Einstein la prise, celle d’un Espace-Temps quasiment vide. Dans cette perspective, techniquement, l’équation des ondes gravitationnelles résulte de l’application des équations d’Einstein au cas d’un Espace-Temps et d’une métrique associée s’écartant faiblement d’un Espace-Temps « plat » de Minkowski5. Ce faible écart implique l’existence de référentiels dans lesquels les fonctions hμν (x) = gμν (x) − ημν, gardent en chaque évènement x des valeurs très petites6. Dans l’expression de ces fonctions, ημν est un tableau constant, indépendant de x, qui représente la métrique de Minkowski. Tous ses coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale, avec7 η00 = 1, η11 = η22 = η33 = −1. (4) Abstraction faite de l’intervention de la constante cosmologique, qui n’intervient pas dans la théorie des ondes gravitationnelles. (5) Le lecteur pourra consulter sur les développements de cette sous-section diverses références, dont les cours de Relativité Générale dispensés à l’Institut d’Astrophysique de Paris. Citons aussi plus directement l’ouvrage de Patrick Peter et Jean-Philippe Uzan, Cosmologie Primordiale [11], Limite en champ faible, pages 56-62 ; ou encore l’ouvrage de Peter Hajicek, an Introduction to the Relativistic Theory of Gravitation [8], Weak gravitational field, pages 133-152. On pourra également se reporter à la thèse de Nicolas Arnaud [1], 1.2.2. Approximation de champ faible, page 6. Rappelons que l’Espace-Temps de Minkowski est celui de la Relativité Restreinte. (6) D’autres conditions de petitesse sont exigées ; elles concernent la faiblesse des dérivées premières et secondes de la métrique gμν : les variations dans l’espace et dans le temps du tenseur métrique doivent être très « douces » ; cf. [8], page 134, définition du Weak gravitational field. (7) Dans la littérature, on trouve aussi la « signature » opposée, avec η00 = −1 . . . . RELATIVITÉ, ONDES DE L’UNIVERS 49 ONDES MATIÈRE ET UNIVERS RELATIVITÉ GÉNÉRALE, PHYSIQUE QUANTIQUE ET APPLICATIONS Le référentiel étant choisi, les fonctions hμν (x) peuvent être prises comme les composantes d’un tenseur symétrique hμν. Un calcul conduit à une expression approchée du tenseur d’Einstein en fonction de hμν, puis in fine aux équations d’Einstein linéarisées, dans lesquels interviennent h