Invariant manifolds and the global attractor of the generalised nonlocal Ginzburg-Landau equation in the case of homogeneous Dirichlet boundary conditions

Abstract

Рассматриваются два варианта обобщенного нелокального уравнения Гинзбурга-Ландау. Оба эти варианта изучаются вместе с однородными краевыми условиями Дирихле. Для соответствующих начально-краевых задач показано существование решений при всех положительных значениях эволюционной переменной. Для решений начально-краевых задач получены явные формулы в виде рядов Фурье. Изучены свойстварешений соответствующих начально-краевых задач. Во второй части работы рассмотрен вопрос о существовании глобальных аттракторов для решений изучаемых краевых задач. Изучен вопрос о свойствах глобальных аттракторов. В частности, дан ответ о евклидовой размерности таких аттракторов.Приведены достаточные условия, при которых глобальный аттрактор будет конечномерным. Выделен вариант нелокального уравнения Гинзбурга-Ландау, когда глобальный аттрактор будет бесконечномерным. Two versions of the generalized nonlocal Ginzburg-Landau equation are considered. Both of these options are studied together with the homogeneous Dirichlet boundary conditions. For the corresponding initial-boundary value problems, the existence of solutions is shown for all positive values of the evolution variable. For solutions to initial-boundary value problems, explicit formulas are obtained in the form of Fourier series. The properties of solutions of the corresponding initial-boundary value problems are studied. In the second part of the work, the question of the existence of global attractors for solutions to the studied boundary value problems is considered. The question of the properties of global attractors is studied. In particular, an answer is given about the Euclidean dimension of such attractors. Sufficient conditions are given under which the global attractor will be finite-dimensional. A variant of the nonlocal Ginzburg-Landau equation is distinguished, when the global attractor is infinite-dimensional.